Sejam os pontos A=(2,7), A^prime=(4,2), B=(-5,2) e B^prime=(1,8). As retas suportes dos segmentos A A^prime e B B^prime são concorrentes? Comente se é possível responder a essa pergunta sem obter as equações das retas suportes. Em caso afirmativo para concorrência, determine a interseção entre as retas suporte e se a interseção ocorre entre os pontos que determinam os segmentos.

Passo 1

O enunciado apresenta os pontos A=(2,7), A'=(4,2), B=(-5,2) e B'=(1,8) e pergunta se as retas suportes aos segmentos AA' e BB' se cruzam. Conteúdo: geometria analítica no plano, direção de retas, teste de paralelismo e interseção de retas.

Passo 2

Calculemos os vetores diretores das retas:
AA'=(4-2,;2-7)=(2,-5),
BB'=(1-(-5),;8-2)=(6,6)
Duas retas são paralelas se um vetor diretor é múltiplo escalar do outro. Aqui
62=3 e 6-5=-tfrac65,
como 3neq -tfrac65, os vetores não são proporcionais e as retas não são paralelas.

Passo 3

Como não são paralelas, elas têm exatamente um ponto de interseção. Vamos encontrá-lo por parametrização.

Passo 4

Parametrizamos cada reta:
r1(t)=A+t,AA'=(2+2t,;7-5t),
r2(s)=B+s,BB'=(-5+6s,;2+6s)
Igualando coordenadas:
2+2t=-5+6s,
7-5t=2+6s
Da primeira: t=(-7+6s)/2. Da segunda: t=(5-6s)/5. Igualando
-7+6s2=5-6s5 ;implies; 42s=45 ;implies; s=1514
Então
t=-7-6s2=-7-6cdot(15/14)2=-27
O ponto de interseção é
r1l(-tfrac27r) =l(2+2l(-tfrac27r),,7-5l(-tfrac27r)r) =l(tfrac107,,tfrac597r)

Passo 5

Para ver se esse ponto está dentro dos segmentos, precisamos de tin[0,1] e sin[0,1]. Encontramos
t=-tfrac27<0, s=tfrac1514>1,
logo o ponto de interseção das retas suportes não pertence a nenhum dos segmentos AA' ou BB'.

Resposta

As retas suportes são concorrentes e intersectam-se em l(tfrac107,tfrac597r). Entretanto esse ponto não está contido em nenhum dos segmentos AA' nem BB'.

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