Usando a Regra de Cramer, solucione os sistemas:
cx+2 y-z=5 -x-2 y-3 z=-3 4 x-y-z=4

Passo 1

Temos o seguinte sistema linear 3×3
O método que vamos usar é a Regra de Cramer, que diz que, se é a matriz dos coeficientes e , então
onde são obtidas de substituindo a coluna das incógnitas pelos termos constantes.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes
A = 1 & 2 & -1 -1 & -2 & -3 4 & -1 & -1
e calculamos
det(A) = 1cdotdet-2 & -3-1 & -1 -2cdotdet-1 & -34 & -1 +(-1)cdotdet-1 & -24 & -1
Cada menor vale
det-2 & -3-1 & -1=-1, det-1 & -34 & -1=13, det-1 & -24 & -1=9,
logo
det(A)=1cdot(-1)-2cdot13+(-1)cdot9=-1-26-9=-36

Passo 3

Para x, substituímos a primeira coluna de A pelos termos constantes (5,-3,4), obtendo
Ax = 5 & 2 & -1 -3 & -2 & -3 4 & -1 & -1
Usando expansão na primeira linha,
det(Ax) =5cdot(-1)-2cdot15+(-1)cdot11 =-5-30-11=-46,
portanto
x = det(Ax)det(A) = -46-36 = 2318

Passo 4

Para y, substituímos a segunda coluna por (5,-3,4), obtendo
Ay = 1 & 5 & -1 -1 & -3 & -3 4 & 4 & -1
Calculamos
det(Ay) =1cdot15 - 5cdot13 +(-1)cdot8 =15-65-8=-58,
logo
y = det(Ay)det(A) = -58-36 = 2918

Passo 5

Para z, substituímos a terceira coluna por (5,-3,4), obtendo
Az = 1 & 2 & 5 -1 & -2 & -3 4 & -1 & 4
A expansão dá
det(Az) =1cdot(-11)-2cdot8+5cdot9 =-11-16+45=18,
portanto
z = det(Az)det(A) = 18-36 = -tfrac12

Resposta

x = 2318, y = 2918, z = -12

Exercícios relacionados