Utilize a regra de L’Hospital para calcular o limite
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite
usando a regra de L’Hospital. Aqui estamos trabalhando com cálculo de limites, especialmente envolvendo funções exponenciais e trigonometria. Para resolver, vamos precisar entender como transformar expressões complicadas em formas que facilitam a aplicação da regra de L’Hospital.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o limite. Quando temos uma expressão do tipo
, onde tanto
quanto
dependem de
, é útil usar logaritmos para facilitar a resolução. Então, vamos definir:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar
. Se conseguirmos esse valor, podemos depois calcular
usando a função exponencial.
Passo 3
Observando o limite
, percebemos que conforme
se aproxima de 0,
aproxima-se de
(já que
para valores pequenos de
) e
tende a
. Então, temos uma forma indeterminada do tipo
.
Para resolver isso, vamos reescrever o produto como uma fração:
Agora, temos uma forma
, que é adequada para aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 4
Aplicando a regra de L’Hospital, que nos permite diferenciar o numerador e o denominador separadamente:
Então, o limite se torna:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Sabemos que
e
, já que
e
. Portanto:
Então,
.
Passo 6
Agora que temos
, podemos encontrar
aplicando a função exponencial dos dois lados:
Resposta
1