Utilize a regra de L’Hospital para calcular o limite
lim x 0^+ x^sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite lim x 0^+ x^sin(x) usando a regra de L’Hospital. Aqui estamos trabalhando com cálculo de limites, especialmente envolvendo funções exponenciais e trigonometria. Para resolver, vamos precisar entender como transformar expressões complicadas em formas que facilitam a aplicação da regra de L’Hospital.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o limite. Quando temos uma expressão do tipo a^b, onde tanto a quanto b dependem de x, é útil usar logaritmos para facilitar a resolução. Então, vamos definir:
L = limx to 0^+ x^sin(x)
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
ln(L) = limx to 0^+ sin(x) cdot ln(x)
Agora, nosso objetivo é encontrar limx to 0^+ sin(x) cdot ln(x). Se conseguirmos esse valor, podemos depois calcular L usando a função exponencial.

Passo 3

Observando o limite limx to 0^+ sin(x) cdot ln(x), percebemos que conforme x se aproxima de 0, sin(x) aproxima-se de x (já que sin(x) approx x para valores pequenos de x) e ln(x) tende a -infty. Então, temos uma forma indeterminada do tipo 0 cdot (-infty).
Para resolver isso, vamos reescrever o produto como uma fração:
limx to 0^+ sin(x) cdot ln(x) = limx to 0^+ ln(x)1sin(x)
Agora, temos uma forma -inftyinfty, que é adequada para aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hospital, que nos permite diferenciar o numerador e o denominador separadamente:
Numerador: (ln(x))' = 1x
Denominador: (1sin(x))' = -cos(x)sin^2(x)
Então, o limite se torna:
limx to 0^+ 1x-cos(x)sin^2(x) = limx to 0^+ -sin^2(x)x cos(x)

Passo 5

Simplificando a expressão:
limx to 0^+ -sin^2(x)x cos(x) = -limx to 0^+ sin(x)x cdot sin(x)cos(x)
Sabemos que limx to 0 sin(x)x = 1 e limx to 0 sin(x)cos(x) = 0, já que sin(0) = 0 e cos(0) = 1. Portanto:
-limx to 0^+ sin(x)x cdot sin(x)cos(x) = -1 cdot 0 = 0
Então, ln(L) = 0.

Passo 6

Agora que temos ln(L) = 0, podemos encontrar L aplicando a função exponencial dos dois lados:
L = e^0 = 1

Resposta

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