Sejam
e
relações em
. Determine o valor-verdade das seguintes proposições. Se a proposição for verdadeira, faça a demonstração respectiva; caso contrário, dê um contra-exemplo.
Se
e
são antissimétricas, então
é antissimétrica.
Se
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos duas relações
e
sobre um conjunto
. Pergunta: “Se
e
são antissimétricas, então
é antissimétrica?”
Conteúdo da matéria: teoria de relações, em especial a definição de antissimetria e operação de união de relações.
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: teoria de relações, em especial a definição de antissimetria e operação de união de relações.
O que vamos precisar:
- Definição de relação antissimétrica:
é antissimétrica se, sempre que e , então . - Entender como funciona a união de relações:
. - Ver se a antissimetria se mantém ao juntar duas relações antissimétricas.
Passo 2
Relembrando a teoria:
Uma relação é antissimétrica quando não existem pares distintos
e
ambos em
. Formalmente:
Uma relação
Se
e
satisfazem isso individualmente, a pergunta é se
também sempre vai satisfazer.
Passo 3
Construindo um contra-exemplo simples:
Escolhe .
Define
e
– é antissimétrica? Sim, porque não há
em
.
– é antissimétrica? Sim, porque não há
em
.
Mas
Escolhe
Define
–
–
Mas
Nesse conjunto temos
e
com
. Isso viola a definição de antissimetria para
.
Resposta
A proposição é falsa. Contra-exemplo: em
,
e
são antissimétricas, mas
não é antissimétrica.