Sejam R e S relações em A. Determine o valor-verdade das seguintes proposições. Se a proposição for verdadeira, faça a demonstração respectiva; caso contrário, dê um contra-exemplo.
Se R e S são antissimétricas, então R cup S é antissimétrica.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos duas relações e sobre um conjunto . Pergunta: “Se e são antissimétricas, então é antissimétrica?”
Conteúdo da matéria: teoria de relações, em especial a definição de antissimetria e operação de união de relações.
O que vamos precisar:
  1. Definição de relação antissimétrica:
    é antissimétrica se, sempre que e , então .
  2. Entender como funciona a união de relações:
    .
  3. Ver se a antissimetria se mantém ao juntar duas relações antissimétricas.

Passo 2

Relembrando a teoria:
Uma relação forall x,yin A,; l((x,y)inT wed>= (y,x)inTr) implies x = y é antissimétrica quando não existem pares distintos e ambos em . Formalmente:
Se e satisfazem isso individualmente, a pergunta é se também sempre vai satisfazer.

Passo 3

Construindo um contra-exemplo simples:
Escolhe Rcup S = (1,2),(2,1) .
Define
e
é antissimétrica? Sim, porque não há em .
é antissimétrica? Sim, porque não há em .
Mas
Nesse conjunto temos e com . Isso viola a definição de antissimetria para .

Resposta

A proposição é falsa. Contra-exemplo: em ,
e são antissimétricas, mas
não é antissimétrica.

Exercícios relacionados