(a) Determine a equação vetorial e equações simétricas das retas r e s, respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar a equação vetorial e as equações simétricas das retas e . Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde trabalhamos com representações de retas no espaço usando vetores e parâmetros. Para resolver, vamos precisar entender como transformar as equações paramétricas dadas em uma forma vetorial e depois em equações simétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação vetorial de uma reta. Ela tem a forma:
r(t) = r0 + t cdot v
Onde:
é o vetor posição de qualquer ponto na reta.
é o vetor posição de um ponto específico na reta.
é o vetor diretor da reta.
é o parâmetro real.
Vamos aplicar isso para a reta .
Passo 3
Olha só a equação paramétrica da reta x = -2 - 2lambda y = 2lambda z = 3 - 4lambda :
Aqui, é o parâmetro. Podemos identificar um ponto na reta quando :
Então, o ponto é .
O vetor diretor é dado pelos coeficientes de nas equações:
: -2
: 2
: -4
Então, .
Passo 4
Agora, montamos a equação vetorial da reta r(lambda) = -2 0 3 + lambda cdot -2 2 -4 :
Isso representa todos os pontos da reta à medida que varia.
Passo 5
Vamos fazer o mesmo para a reta x = 4mu y = -6 + 2mu z = 2mu + 1 . As equações paramétricas são:
Aqui, é o parâmetro. Quando :
Então, o ponto é .
O vetor diretor é dado pelos coeficientes de :
: 4
: 2
: 2
Então, .
Passo 6
A equação vetorial da reta s(mu) = 0 -6 1 + mu cdot 4 2 2 fica:
Prontinho! Agora temos as equações vetoriais das retas e .
Passo 7
Agora vamos para as equações simétricas das retas. Para isso, precisamos isolar o parâmetro em cada equação paramétrica e igualar as frações.
Para uma reta com equações paramétricas:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
As equações simétricas ficam:
x - x0a = y - y0b = z - z0c
Vamos aplicar isso para as retas e .
Passo 8
Primeiro, para a reta x = -2 - 2lambda y = 2lambda z = 3 - 4lambda :
-2 - x2 = y2 = 3 - z4
Isolamos em cada equação:
De :
De :
De :
Igualando as frações:
Essa é a equação simétrica da reta .
Passo 9
Agora, para a reta x = 4mu y = -6 + 2mu z = 2mu + 1 :