Sejam r e s retas, dadas por:
r:l x=-2-2 lambda y=2 lambda, z=3-4 lambda lambda in R e s:l x=4 mu y=-6+2 mu, mu in R z=2 mu+1
(a) Determine a equação vetorial e equações simétricas das retas r e s, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar a equação vetorial e as equações simétricas das retas e . Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde trabalhamos com representações de retas no espaço usando vetores e parâmetros. Para resolver, vamos precisar entender como transformar as equações paramétricas dadas em uma forma vetorial e depois em equações simétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação vetorial de uma reta. Ela tem a forma:
r(t) = r0 + t cdot v
Onde:
  • é o vetor posição de qualquer ponto na reta.
  • é o vetor posição de um ponto específico na reta.
  • é o vetor diretor da reta.
  • é o parâmetro real.
Vamos aplicar isso para a reta .

Passo 3

Olha só a equação paramétrica da reta x = -2 - 2lambda y = 2lambda z = 3 - 4lambda :
Aqui, é o parâmetro. Podemos identificar um ponto na reta quando :
Então, o ponto é .
O vetor diretor é dado pelos coeficientes de nas equações:
  • : -2
  • : 2
  • : -4
Então, .

Passo 4

Agora, montamos a equação vetorial da reta r(lambda) = -2 0 3 + lambda cdot -2 2 -4 :
Isso representa todos os pontos da reta à medida que varia.

Passo 5

Vamos fazer o mesmo para a reta x = 4mu y = -6 + 2mu z = 2mu + 1 . As equações paramétricas são:
Aqui, é o parâmetro. Quando :
Então, o ponto é .
O vetor diretor é dado pelos coeficientes de :
  • : 4
  • : 2
  • : 2
Então, .

Passo 6

A equação vetorial da reta s(mu) = 0 -6 1 + mu cdot 4 2 2 fica:
Prontinho! Agora temos as equações vetoriais das retas e .

Passo 7

Agora vamos para as equações simétricas das retas. Para isso, precisamos isolar o parâmetro em cada equação paramétrica e igualar as frações.
Para uma reta com equações paramétricas:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
As equações simétricas ficam:
x - x0a = y - y0b = z - z0c
Vamos aplicar isso para as retas e .

Passo 8

Primeiro, para a reta x = -2 - 2lambda y = 2lambda z = 3 - 4lambda :
-2 - x2 = y2 = 3 - z4
Isolamos em cada equação:
  • De :
  • De :
  • De :
Igualando as frações:
Essa é a equação simétrica da reta .

Passo 9

Agora, para a reta x = 4mu y = -6 + 2mu z = 2mu + 1 :
x4 = y + 62 = z - 12
Isolamos em cada equação:
  • De :
  • De :
  • De :
Igualando as frações:
Essa é a equação simétrica da reta .

Resposta

Equações vetoriais:
r(lambda) = -2 0 3 + lambda cdot -2 2 -4
s(mu) = 0 -6 1 + mu cdot 4 2 2
Equações simétricas:
Para a reta -2 - x2 = y2 = 3 - z4 :
x4 = y + 62 = z - 12
Para a reta :

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