Sejam
A=[rcr beta & 1 & -1 1 & 2 beta-1 & 1 -1 & 1 & -beta ] e b=[r 3 7 -3 ]
(a) Determine os valores de beta para os quais os métodos iterativos de Gauss-Jacobi e de GaussSeidel geram uma sequência convergente para a solução de A x=b, independentemente do ponto inicial x^(0).

Passo 1

Beleza, então o problema é o seguinte: temos a matriz
A= beta & 1 & -1 [6pt] 1 & 2beta-1 & 1 [6pt] -1 & 1 & -beta e b=37-3,
e a pergunta (parte a) é: “para quais valores de os métodos iterativos de Gauss–Jacobi e de Gauss–Seidel convergem para a solução de , qualquer que seja o chute inicial ?”
Conteúdo: métodos iterativos lineares (Jacobi e Gauss–Seidel) e critério de convergência via dominância diagonal.
O que vamos usar:
  1. A ideia de dominância diagonal estrita.
  2. O teorema que diz que, se cada linha de satisfaz

    então tanto Jacobi quanto Gauss–Seidel convergem para qualquer .

Passo 2

Primeiro, lembra do conceito de dominância diagonal estrita:
Para cada linha l|aiir| ;>; sumsubstackj=1jneq i^n l|aijr| de , temos de garantir
Isso é suficiente (mesmo que não seja sempre necessário) para garantir e , onde é a matriz de iteração de Jacobi e a de Gauss–Seidel.

Passo 3

Agora, aplicando isso linha a linha em
A= beta & 1 & -1 [3pt] 1 & 2beta-1 & 1 [3pt] -1 & 1 & -beta ,
temos:
Linha 1 ( |a11| = |beta|, |a12| + |a13| = |1| + |-1| = 2, ):
|beta| > 2
então exigimos
|a22| = |2beta - 1|, |a21| + |a23| = |1| + |1| = 2,
Linha 2 ( |2beta - 1| > 2 ;;Longrightarrow;; 2beta - 1 > 2 ;ou; 2beta - 1 < -2 ):
2beta > 3 ;Rightarrow;beta > tfrac32, ou 2beta < -1;Rightarrow;beta < -tfrac12
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|a33| = |-beta| = |beta|, |a31| + |a32| = |-1| + |1| = 2,
Isto é
|beta| > 2
Linha 3 ( ):
de novo

Passo 4

Juntando as três linhas, precisamos de simultaneamente
  1. ,
  2. ou .
Mas já implica ou .
Ambas as faixas satisfazem a condição da linha 2, porque
  • Se , então claramente .
  • Se , então .

Resposta

Os métodos de Gauss–Jacobi e de Gauss–Seidel convergem para qualquer chute inicial boxedbeta>2oubeta<-2 exatamente quando

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