(a) Determine os valores de beta para os quais os métodos iterativos de Gauss-Jacobi e de GaussSeidel geram uma sequência convergente para a solução de A x=b, independentemente do ponto inicial x^(0).
Passo 1
Beleza, então o problema é o seguinte: temos a matriz
e a pergunta (parte a) é: “para quais valores de os métodos iterativos de Gauss–Jacobi e de Gauss–Seidel convergem para a solução de , qualquer que seja o chute inicial ?”
Conteúdo: métodos iterativos lineares (Jacobi e Gauss–Seidel) e critério de convergência via dominância diagonal.
O que vamos usar:
A ideia de dominância diagonal estrita.
O teorema que diz que, se cada linha de satisfaz
então tanto Jacobi quanto Gauss–Seidel convergem para qualquer .
Passo 2
Primeiro, lembra do conceito de dominância diagonal estrita:
Para cada linha l|aiir| ;>; sumsubstackj=1jneq i^n l|aijr| de , temos de garantir
Isso é suficiente (mesmo que não seja sempre necessário) para garantir e , onde é a matriz de iteração de Jacobi e a de Gauss–Seidel.