Sejam v1=(1,2,-2), v2=(2,-1,1), v3=(3,6,-6), v4=(3,1,-1) e w=(-3,-11,11). Responda os itens a seguir.
(e) (1 ponto) w in >=rv1, v2, v3, v4 ? Se sim, expresse w como uma combinação linear de v1, v2, v3 e v4.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v1=(1,2,-2),
v2=(2,-1,1),
v3=(3,6,-6),
v4=(3,1,-1)
e
w=(-3,-11,11).
O que se pede no item (e) é verificar se ,win>=rv1,v2,v3,v4 e, em caso afirmativo, expressar w como combinação linear desses vetores. O conteúdo usado será sistema linear para resolver coeficientes de combinação.

Passo 2

Note que v3=(3,6,-6)=3,(1,2,-2)=3,v1, ou seja, v3 é linearmente dependente de v1 e pode ser descartado da base sem alterar a geração. Então basta tentar escrever
c1,v1 ;+; c2,v2;+;c4,v4 ;=;w

Passo 3

Escrevendo coordenada a coordenada, obtenho o sistema
c1 + 2,c2 + 3,c4 = -3,[6pt] 2,c1 - c2 + c4 = -11,[6pt] -2,c1 + c2 - c4 = 11
Repare que a terceira equação é exatamente a negativa da segunda, ou seja, há redundância e sempre há solução.]

Passo 4

Das duas primeiras equações, isolo c4 na segunda:
c4 = -11 ;-;2,c1 ;+;c2
Substituo na primeira:
c1+2c2+3l(-11-2c1+c2r)=-3 ;Longrightarrow; -5c1+5c2=30 ;Longrightarrow; c2=c1+6
Logo
c4=-11-2c1+(c1+6)=-5-c1
Há um grau de liberdade ( c1 livre), mas qualquer escolha dá uma representação válida.

Passo 5

Para simplificar, escolho c1=0. Então
c2=6, c4=-5, c3=0
Verifico
6,v2-5,v4 =6,(2,-1,1);-;5,(3,1,-1) =(12,-6,6)+(-15,-5,5) =(-3,-11,11)=w

Resposta

Sim, win>=rv1,v2,v3,v4. Uma combinação linear é
boxed,w = 6,v2;-;5,v4,

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