Verifique se as seguintes séries convergem ou divergem:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2^{n}}{n!}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}
converge ou diverge. O conteúdo aqui é convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da razão (teste de d’Alembert).

Passo 2

Definimos o termo geral da série como
a_{n} = \frac{2^{n}}{n!}.
Para aplicar o teste da razão, calculamos o quociente entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^{n}}{n!}} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{2^{n}} = \frac{2}{n+1}.

Passo 3

Agora analisamos o limite deste quociente quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1} = 0.
Como L<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!} converge (na verdade, converge absolutamente).

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