Use o teste da raiz para mostrar que as séries abaixo convergem:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-n}{3 n+1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac{-n}{3n+1}\Bigr)^{n}
e pede para usar o teste da raiz de Cauchy, cujo critério é calcular
L = \lim_{n\to\infty} \bigl|a_{n}\bigr|^{1/n}
e concluir que, se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n} = \Bigl(\tfrac{-n}{3n+1}\Bigr)^{n}.
Para o teste da raiz, tomamos o valor absoluto
|a_{n}| = \Bigl|\tfrac{-n}{3n+1}\Bigr|^{n} = \Bigl(\tfrac{n}{3n+1}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Calculamos a raiz n-ésima de |a_{n}|:
L = \lim_{n\to\infty} |a_{n}|^{1/n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{3n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{3 + \tfrac{1}{n}} = \frac{1}{3}.

Passo 4

Como
L = \frac{1}{3} < 1,
pelo teste da raiz a série de termos |a_{n}| converge, ou seja, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac{-n}{3n+1}\Bigr)^{n} converge absolutamente pelo teste da raiz.

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