Sejam as seguintes partículas ( N, representa o número de partículas que estão com velocidade v_{i} ):
N_{i} v_{i}(\mathrm{~cm} / \mathrm{s})
2 1.0
4 2.0
6 3.0
8 4.0
2 5.0
(a) Encontre a velocidade média \bar{v}. (b) Encontre a velocidade v_{\text {rm }}. (c) Das cinco velocidades tabeladas, qual a mais provável?

Passo 1

O enunciado nos dá uma distribuição discreta de partículas, onde cada velocidade v_i ocorre N_i vezes, conforme a tabela:
\begin{array}{cc} N_i & v_i\\ (\mathrm{cm/s})\\hline 2 & 1{,}0\\\\ 4 & 2{,}0\\\\ 6 & 3{,}0\\\\ 8 & 4{,}0\\\\ 2 & 5{,}0 \end{array}
O que se pede:
(a) a velocidade média \bar v, (b) a velocidade quadrática média v_{\rm rms} e (c) a velocidade mais provável. Para isso vamos usar as fórmulas de média e média quadrática em distribuição discreta.

Passo 2

Calcular o total de partículas e a média aritmética
N = \sum_i N_i = 2 + 4 + 6 + 8 + 2 = 22.
A velocidade média é
\bar v = \frac{1}{N}\sum_i N_i\,v_i
Logo,
\sum_i N_i\,v_i = 2\cdot1 + 4\cdot2 + 6\cdot3 + 8\cdot4 + 2\cdot5 = 2 + 8 + 18 + 32 + 10 = 70,
\bar v = \frac{70}{22}\approx 3{,}18\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 3

Calcular a velocidade quadrática média (root-mean-square)
v_{\rm rms} = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_i N_i\,v_i^2}.
Primeiro:
\sum_i N_i\,v_i^2 = 2\cdot1^2 + 4\cdot2^2 + 6\cdot3^2 + 8\cdot4^2 + 2\cdot5^2 = 2 + 16 + 54 + 128 + 50 = 250.
Então
v_{\rm rms} = \sqrt{\frac{250}{22}}\approx \sqrt{11{,}36}\approx 3{,}37\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 4

Determinar a velocidade mais provável, ou seja, aquela com maior frequência N_i. Observando a tabela, o maior N_i é 8, que corresponde a v=4{,}0\\ \mathrm{cm/s}. Portanto, a velocidade mais provável é 4{,}0\\ \mathrm{cm/s}.

Resposta

(a) \bar v = \dfrac{70}{22}\approx 3{,}18\\ \mathrm{cm/s}.
(b) v_{\rm rms} = \sqrt{\dfrac{250}{22}}\approx 3{,}37\\ \mathrm{cm/s}.
(c) A velocidade mais provável é 4{,}0\\ \mathrm{cm/s}.

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