Sejam os vetores:
\vec{u}=(3,-2,4), \quad \vec{v}=(1,0,-2), \quad \vec{w}=(5,3,-2)
e) Encontrar o produto escalar:
\vec{u} . \vec{v}
\vec{v} . \vec{w}
\vec{u} . \vec{w}
f) Encontrar o módulo do vetor:
|\vec{u}|
|\vec{v}|
|\vec{w}|
Encontrar o Ângulo entre Dois Vetores:
g) \cos \theta=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}
h) \cos \theta=\frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{|\vec{v}||\vec{w}|}
i) \cos \theta=\frac{\vec{w} \cdot \vec{u}}{|\vec{w}||\vec{u}|}

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que ele pede (peguei os vetores do enunciado):
  • Vetores dados: \vec{u}=(3,-2,4),\qquad \vec{v}=(1,0,-2),\qquad \vec{w}=(5,3,-2).
  • Pedidos:
    • (e) Calcular os produtos escalares \vec{u}\cdot\vec{v}, \vec{v}\cdot\vec{w} e \vec{u}\cdot\vec{w}.
    • (f) Calcular os módulos |\vec{u}|, |\vec{v}| e |\vec{w}|.
    • (g),(h),(i) Calcular o cosseno do ângulo entre cada par usando \cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}e também obter o próprio ângulo \theta (vou dar resultado em radianos e em graus).

Passo 2

Conceito e fórmula do produto escalar (passo-a-passo didático).
  • Definição: para dois vetores em \mathbb{R}^3, \vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\qquad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),o produto escalar é \vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.Cada termo é o produto das componentes correspondentes; depois soma-se tudo.
  • Vou aplicar essa fórmula a \vec{u} e \vec{v}.

Passo 3

Cálculo de \vec{u}\cdot\vec{v} passo a passo.
  • Escrevendo componentes: \vec{u}=(3,-2,4),\qquad \vec{v}=(1,0,-2).
  • Aplicando a fórmula: \vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot1+(-2)\cdot0+4\cdot(-2).
  • Calculando cada termo: 3\cdot1=3,\quad (-2)\cdot0=0,\quad 4\cdot(-2)=-8.
  • Somando: \vec{u}\cdot\vec{v}=3+0-8=-5.

Passo 4

Cálculo de \vec{v}\cdot\vec{w} passo a passo.
  • Componentes: \vec{v}=(1,0,-2),\qquad \vec{w}=(5,3,-2).
  • Produto escalar: \vec{v}\cdot\vec{w}=1\cdot5+0\cdot3+(-2)\cdot(-2).
  • Termos: 1\cdot5=5,\quad 0\cdot3=0,\quad (-2)\cdot(-2)=4.
  • Soma: \vec{v}\cdot\vec{w}=5+0+4=9.

Passo 5

Cálculo de \vec{u}\cdot\vec{w} passo a passo.
  • Componentes: \vec{u}=(3,-2,4),\qquad \vec{w}=(5,3,-2).
  • Produto escalar: \vec{u}\cdot\vec{w}=3\cdot5+(-2)\cdot3+4\cdot(-2).
  • Termos: 3\cdot5=15,\quad (-2)\cdot3=-6,\quad 4\cdot(-2)=-8.
  • Soma: \vec{u}\cdot\vec{w}=15-6-8=1.

Passo 6

Conceito e fórmula do módulo (norma) de um vetor e cálculo de |\vec{u}|.
  • Definição: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3), |\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.É a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes.
  • Aplicando a \vec{u}=(3,-2,4): |\vec{u}|=\sqrt{3^2+(-2)^2+4^2}=\sqrt{9+4+16}=\sqrt{29}.

Passo 7

Cálculo de |\vec{v}|.
  • Para \vec{v}=(1,0,-2): |\vec{v}|=\sqrt{1^2+0^2+(-2)^2}=\sqrt{1+0+4}=\sqrt{5}.

Passo 8

Cálculo de |\vec{w}|.
  • Para \vec{w}=(5,3,-2): |\vec{w}|=\sqrt{5^2+3^2+(-2)^2}=\sqrt{25+9+4}=\sqrt{38}.

Passo 9

Fórmula para o cosseno do ângulo entre dois vetores e verificação do domínio.
  • Fórmula: para dois vetores \vec{a} e \vec{b}, \cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}.
  • Observação prática: antes de aplicar a arccos, checo se o valor está no intervalo [-1,1]. Se estiver, \theta=\operatorname{arccos}(\cos\theta) é bem definido; o resultado dará o ângulo entre 0 e \pi radianos (ou entre 0^\circ e 180^\circ).

Passo 10

Cálculo de \cos\theta e do próprio \theta para \vec{u} e \vec{v}.
  • Usando os resultados anteriores: \vec{u}\cdot\vec{v}=-5,\quad |\vec{u}|=\sqrt{29},\quad |\vec{v}|=\sqrt{5}.
  • Então \cos\theta_{uv}=\frac{-5}{\sqrt{29}\sqrt{5}}=\frac{-5}{\sqrt{145}}.
  • Valor numérico aproximado: \cos\theta_{uv}\approx -0,415748.
  • Ângulo: \theta_{uv}=\operatorname{arccos}\!\big(\cos\theta_{uv}\big)\approx 1{,}999\\ \text{rad}\approx 114{,}6^\circ.(usei a conversão 1\\ \text{rad}=180/\pi para obter graus.)

Passo 11

Cálculo de \cos\theta e do próprio \theta para \vec{v} e \vec{w}.
  • Usando: \vec{v}\cdot\vec{w}=9,\quad |\vec{v}|=\sqrt{5},\quad |\vec{w}|=\sqrt{38}.
  • Então \cos\theta_{vw}=\frac{9}{\sqrt{5}\sqrt{38}}=\frac{9}{\sqrt{190}}.
  • Valor numérico aproximado: \cos\theta_{vw}\approx 0,652940.
  • Ângulo: \theta_{vw}=\operatorname{arccos}\!\big(\cos\theta_{vw}\big)\approx 0{,}860\\ \text{rad}\approx 49{,}3^\circ.

Passo 12

Cálculo de \cos\theta e do próprio \theta para \vec{w} e \vec{u}.
  • Usando: \vec{w}\cdot\vec{u}=1,\quad |\vec{w}|=\sqrt{38},\quad |\vec{u}|=\sqrt{29}.
  • Então \cos\theta_{wu}=\frac{1}{\sqrt{38}\sqrt{29}}=\frac{1}{\sqrt{1102}}.
  • Valor numérico aproximado: \cos\theta_{wu}\approx 0,03012.
  • Ângulo: \theta_{wu}=\operatorname{arccos}\!\big(\cos\theta_{wu}\big)\approx 1{,}5407\\ \text{rad}\approx 88{,}3^\circ.

Resposta

\vec{u}\cdot\vec{v}=-5
\vec{v}\cdot\vec{w}=9
\vec{u}\cdot\vec{w}=1
|\vec{u}|=\sqrt{29}
|\vec{v}|=\sqrt{5}
|\vec{w}|=\sqrt{38}
\cos\theta_{uv}=\dfrac{-5}{\sqrt{145}}\approx-0{,}415748,\\ \theta_{uv}\approx1{,}999\\ \text{rad}\approx114{,}6^\circ
\cos\theta_{vw}=\dfrac{9}{\sqrt{190}}\approx0{,}652940,\\ \theta_{vw}\approx0{,}860\\ \text{rad}\approx49{,}3^\circ
\cos\theta_{wu}=\dfrac{1}{\sqrt{1102}}\approx0{,}03012,\\ \theta_{wu}\approx1{,}5407\\ \text{rad}\approx88{,}3^\circ

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