Sejam X_{1} \sim U[0,1] e X_{2} \sim U[0,1] duas v.a.'s independentes.
Calcule P\left(1 / 3 \leq X_{1} \leq 2 / 3,1 / 3 \leq X_{2} \leq 2 / 3\right).

Passo 1

O enunciado diz que X_{1} e X_{2} são independentes e ambos têm distribuição uniforme em [0,1]. Queremos a probabilidade de o par (X_{1},X_{2}) cair no quadrado
\left\{\tfrac13 \le X_{1}\le \tfrac23,\;\tfrac13 \le X_{2}\le \tfrac23\right\}.
Para variáveis contínuas independentes, a densidade conjunta é o produto das densidades marginais.

Passo 2

Cada X_{i} tem densidade
f_{X_{i}}(x)= \begin{cases} 1, &0\le x\le1,\\\\ 0, &\text{caso contrário.} \end{cases}á
Como são independentes,
f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2}) =f_{X_{1}}(x_{1})\,f_{X_{2}}(x_{2}) =1 \quad\text{para }(x_{1},x_{2})\in[0,1]^{2}.
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P\bigl(\tfrac13\le X_{1}\le\tfrac23,\;\tfrac13\le X_{2}\le\tfrac23\bigr) =\int_{\tfrac13}^{\tfrac23}\!\int_{\tfrac13}^{\tfrac23}1\,dx_{1}\,dx_{2} =\bigl(\tfrac23-\tfrac13\bigr)^{2} =\bigl(\tfrac13\bigr)^{2} =\tfrac{1}{9}.

Resposta

\tfrac{1}{9}

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