Sejam
e
subconjuntos de um conjunto
. Demonstre as afirmações verdadeiras e dê contra-exemplo para as falsas:
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a igualdade
onde
é o complemento de
em
, e
é a diferença de conjuntos. O conteúdo é teoria de conjuntos: definições de complemento, diferença e as Leis de De Morgan.
Passo 2
Relembremos as definições:
- O complemento de
em é
- A diferença de
com é
Passo 3
Reescrevamos cada lado da alegada igualdade usando essas definições:
- Lado esquerdo:
Pelas Leis de De Morgan temos
- Lado direito:
Passo 4
Comparando, vemos que em geral
Portanto a igualdade não vale para todo
.
Passo 5
Contra-exemplo em
, definindo
Então
porém
Como
, a igualdade falha.
Resposta
A afirmação é falsa. O contra-exemplo em
, com
e
, mostra que