Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto Omega. Demonstre as afirmações verdadeiras e dê contra-exemplo para as falsas:
COmega(A-B)=COmega A cap B.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a igualdade
COmega(A - B) ;=; COmegaA ,cap, B
onde COmegaX é o complemento de X em Omega, e A-B é a diferença de conjuntos. O conteúdo é teoria de conjuntos: definições de complemento, diferença e as Leis de De Morgan.

Passo 2

Relembremos as definições:
  1. O complemento de X em Omega é
COmegaX ;=;Omegasetminus X
  1. A diferença de A com B é
A-B ;=;Asetminus B ;=;,xin A: xnotin B,

Passo 3

Reescrevamos cada lado da alegada igualdade usando essas definições:
  1. Lado esquerdo:
COmega(A-B) =Omegasetminus(Asetminus B)
Pelas Leis de De Morgan temos
Omegasetminus(Asetminus B) =(Omegasetminus A);cup;B
  1. Lado direito:
COmegaA;cap;B =(Omegasetminus A);cap;B =,xin B: xnotin A =Bsetminus A

Passo 4

Comparando, vemos que em geral
COmega(A-B) =(Omegasetminus A)cup B neq (Omegasetminus A)cap B =COmegaAcap B
Portanto a igualdade não vale para todo A,BsubseteqOmega.

Passo 5

Contra-exemplo em Omega=1,2,3, definindo
A=1,2, B=2,3
Então
A-B=1,2setminus2,3=1,
COmega(A-B)=1,2,3setminus1=2,3,
porém
COmegaAcap B =(1,2,3setminus1,2)cap2,3 =3cap2,3=3
Como 2,3neq3, a igualdade falha.

Resposta

A afirmação é falsa. O contra-exemplo em Omega=1,2,3, com A=1,2 e B=2,3, mostra que
COmega(A-B)=2,3neq3=COmegaAcap B

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