Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto Omega. Demonstre as afirmações verdadeiras e dê contra-exemplo para as falsas:
Se A subseteq B e B nsubseteq C, então A nsubseteq C.

Passo 1

O enunciado diz: sejam A,B,CsubseteqOmega. Se Asubseteq B e Bnsubseteq C então Ansubseteq C. Estamos no tema de teoria de conjuntos, mais especificamente inclusão de conjuntos e negação de inclusão. Queremos checar se a segunda hipótese força a conclusão.

Passo 2

Para ver se a implicação é válida, escrevemos em termos de quantificadores:
;Asubseteq B significa “ forall xinOmega,;xin Aimplies xin B”.
;Bnsubseteq C significa “ exists yin B tal que ynotin C”.
Para concluir “ ;Ansubseteq C” precisaríamos um zin A com znotin C. Mas o yin B garantido pode não pertencer a A. Logo a existência de um elemento em Bsetminus C não garante que ele esteja em A. Por isso não podemos concluir que exista zin Asetminus C. A implicação falha em geral.

Passo 3

Contra-exemplo explícito:
Escolha Omega=1,2,
A=1, B=1,2, C=1
Verificações:
1. Asubseteq B porque todo elemento de A (isto é, 1) está em B.
2. Bnsubseteq C porque 2in B mas 2notin C.
3. No entanto, Asubseteq C pois o único elemento de A é 1, que está em C.
Portanto, apesar de Asubseteq B e Bnsubseteq C, temos Asubseteq C, contradizendo a conclusão desejada.

Resposta

A afirmação é falsa; o contra-exemplo acima mostra que mesmo com Asubseteq B e Bnsubseteq C pode ocorrer Asubseteq C.

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