Sejam
e
subconjuntos de um conjunto
. Demonstre as afirmações verdadeiras e dê contra-exemplo para as falsas:
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado diz: sejam
. Se
e
então
. Estamos no tema de teoria de conjuntos, mais especificamente inclusão de conjuntos e negação de inclusão. Queremos checar se a segunda hipótese força a conclusão.
Passo 2
Para ver se a implicação é válida, escrevemos em termos de quantificadores:
significa “
”.
significa “
tal que
”.
Para concluir “ ” precisaríamos um
com
. Mas o
garantido pode não pertencer a
. Logo a existência de um elemento em
não garante que ele esteja em
. Por isso não podemos concluir que exista
. A implicação falha em geral.
Para concluir “
Passo 3
Contra-exemplo explícito:
Escolha ,
Escolha
Verificações:
.
porque todo elemento de
(isto é,
) está em
.
.
porque
mas
.
. No entanto,
pois o único elemento de
é
, que está em
.
Portanto, apesar de e
, temos
, contradizendo a conclusão desejada.
Portanto, apesar de
Resposta
A afirmação é falsa; o contra-exemplo acima mostra que mesmo com
e
pode ocorrer
.