Sejam
e
subconjuntos de um conjunto
. Demonstre as afirmações verdadeiras e dê contra-exemplo para as falsas:
.
Passo 1
O enunciado pede para investigar se
é verdadeira para quaisquer subconjuntos
.
O conteúdo envolvido é álgebra de conjuntos: diferença, interseção, união e leis de De Morgan.
O conteúdo envolvido é álgebra de conjuntos: diferença, interseção, união e leis de De Morgan.
Passo 2
Expressamos
como interseção com complemento. Lembrando que
e que
temos
Passo 3
Agora expressemos
usando
. Assim,
Passo 4
Comparando as duas expressões:
Em geral
, então não há igualdade para todo
.
Passo 5
Contraexemplo simples: seja
Então
mas
Logo
, e a igualdade falha.
Resposta
A igualdade é falsa; o contraexemplo acima mostra que