Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto Omega. Demonstre as afirmações verdadeiras e dê contra-exemplo para as falsas:
A-(B-C)=A-(B cup C).

Passo 1

O enunciado pede para investigar se
A - (B - C) ;=; A - (B cup C)
é verdadeira para quaisquer subconjuntos A,B,Csubseteq Omega.
O conteúdo envolvido é álgebra de conjuntos: diferença, interseção, união e leis de De Morgan.

Passo 2

Expressamos
A - (B - C)
como interseção com complemento. Lembrando que X - Y = X cap Y^c e que
(B - C)^c = (Bcap C^c)^c = B^c cup C,
temos
A - (B - C) = A cap (B - C)^c = A cap (B^c cup C) = (A cap B^c);cup;(A cap C)

Passo 3

Agora expressemos
A - (B cup C)
usando (Bcup C)^c = B^ccap C^c. Assim,
A - (B cup C) = A cap (Bcup C)^c = A cap (B^c cap C^c) = A cap B^c cap C^c

Passo 4

Comparando as duas expressões:
A - (B - C) = (Asetminus B);cup;(Acap C), A - (Bcup C) = (Asetminus B);cap;(Asetminus C)
Em geral (Xcup Y)neq (Xcap Z), então não há igualdade para todo A,B,C.

Passo 5

Contraexemplo simples: seja
A=1,2, B=1, C=2
Então
B - C = 1, A - (B - C) = 2,
mas
Bcup C = 1,2, A - (Bcup C) = emptyset
Logo 2neqemptyset, e a igualdade falha.

Resposta

A igualdade é falsa; o contraexemplo acima mostra que
A - (B - C)neq A - (Bcup C)

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