Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto Omega. Mostre que:
A cap(B cup C)=(A cap B) cup(A cap C).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos três subconjuntos A, B e C de um universo Omega e queremos mostrar a igualdade
A cap (B cup C) ;=; (Acap B);cup;(Acap C)
O conteúdo é a propriedade distributiva da interseção em relação à união. Para provar essa igualdade, vamos mostrar duas inclusões:
  1. A cap (B cup C)subseteq (Acap B)cup(Acap C).
  2. (Acap B)cup(Acap C)subseteq A cap (B cup C).

Passo 2

Prova de A cap (B cup C)subseteq (Acap B)cup(Acap C).
Seja xin Acap(Bcup C). Então, por definição de interseção e união,
xin A e xin Bcup C
Da segunda parte, xin B ou xin C.
  • Se xin B, então xin A e xin B, ou seja, xin Acap B.
  • Se xin C, então xin A e xin C, ou seja, xin Acap C.
    Em qualquer caso, xin (Acap B)cup(Acap C). Logo
A cap (B cup C)subseteq (Acap B)cup(Acap C)

Passo 3

Prova de (Acap B)cup(Acap C)subseteq A cap (B cup C).
Seja xin (Acap B)cup(Acap C). Então ou xin Acap B ou xin Acap C.
  • Se xin Acap B, então xin A e xin B. Como xin B implica xin Bcup C, temos xin Acap(Bcup C).
  • Se xin Acap C, então xin A e xin C. Como xin C implica xin Bcup C, segue xin Acap(Bcup C).
    Assim
(Acap B)cup(Acap C)subseteq A cap (B cup C)

Passo 4

Tendo mostrado as duas inclusões, concluímos que
A cap (B cup C) = (Acap B)cup(Acap C)

Resposta

A cap (B cup C) = (Acap B)cup(Acap C)

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