Sejam
e
subconjuntos de um conjunto
. Mostre que:
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos três subconjuntos
,
e
de um universo
e queremos mostrar a igualdade
O conteúdo é a propriedade distributiva da interseção em relação à união. Para provar essa igualdade, vamos mostrar duas inclusões:
-
. -
.
Passo 2
Prova de
.
Seja . Então, por definição de interseção e união,
Seja
Da segunda parte,
ou
.
- Se
, então e , ou seja, . - Se
, então e , ou seja, .
Em qualquer caso,. Logo
Passo 3
Prova de
.
Seja . Então ou
ou
.
Seja
- Se
, então e . Como implica , temos . - Se
, então e . Como implica , segue .
Assim
Passo 4
Tendo mostrado as duas inclusões, concluímos que