Sobre Sistemas Lineares
Discuta a respeito do sistema linear abaixo. Utilize o método que achar melhor.
c 4 x+2 y-7 z+8 w=6 9 x-3 y+z+4 w=7 32 x-14 y-8 z-9 w=5 101 x+55 y-37 z+20 w=-35

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse sistema de equações lineares que você tem. O sistema é composto por quatro equações com quatro variáveis: x , y , z e w . Nosso objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar um método chamado eliminação de Gauss, que é uma técnica passo a passo para simplificar o sistema e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, organizamos o sistema das suas equações:
4x + 2y - 7z + 8w = 6 9x - 3y + z + 4w = 7 32x - 14y - 8z - 9w = 5 101x + 55y - 37z + 20w = -35
O objetivo aqui é transformar esse sistema em uma forma mais simples, onde conseguimos resolver uma variável de cada vez.

Passo 3

Vamos começar eliminando uma variável das equações. Vamos escolher eliminar o x primeiro. Para isso, precisamos fazer com que os coeficientes de x nas equações 1 e 2 sejam iguais, para que possamos subtrair uma equação da outra e eliminar o x .
Multiplicamos a primeira equação por 9 e a segunda por 4 para igualar os coeficientes de x :
36x + 18y - 63z + 72w = 54 (Equação 1 × 9) 36x - 12y + 4z + 16w = 28 (Equação 2 × 4) çãçã
Agora, subtraímos a segunda equação da primeira:
(36x + 18y - 63z + 72w) - (36x - 12y + 4z + 16w) = 54 - 28
Simplificando:
0x + 30y - 67z + 56w = 26
Então, a nova equação é:
30y - 67z + 56w = 26 (Equação 5) çã

Passo 4

Agora, vamos eliminar o x da terceira e quarta equações usando a mesma lógica. Primeiro, igualamos os coeficientes de x .
Multiplicamos a primeira equação por 32 e a terceira por 4:
128x + 64y - 224z + 256w = 192 (Equação 1 × 32) 128x - 56y - 32z - 36w = 20 (Equação 3 × 4) çãçã
Subtraímos a terceira equação da primeira:
(128x + 64y - 224z + 256w) - (128x - 56y - 32z - 36w) = 192 - 20
Simplificando:
0x + 120y - 192z + 292w = 172
Então, a nova equação é:
120y - 192z + 292w = 172 (Equação 6) çã

Passo 5

Vamos fazer o mesmo com a quarta equação. Multiplicamos a primeira equação por 101 e a quarta por 4 para igualar os coeficientes de x :
404x + 202y - 707z + 808w = 606 (Equação 1 × 101) 404x + 220y - 148z + 80w = -140 (Equação 4 × 4) çãçã
Subtraímos a quarta equação da primeira:
(404x + 202y - 707z + 808w) - (404x + 220y - 148z + 80w) = 606 - (-140)
Simplificando:
0x - 18y - 559z + 728w = 746
Então, a nova equação é:
-18y - 559z + 728w = 746 (Equação 7) çã

Passo 6

Agora, nosso sistema está simplificado para três equações sem o [x):
çãçãçã
Vamos agora eliminar uma outra variável, digamos, (y], para facilitar ainda mais. Vamos trabalhar com as equações 5 e 6.

Passo 7

Para eliminar o y entre as equações 5 e 6, vamos igualar os coeficientes de y . Multiplicamos a equação 5 por 4:
120y - 268z + 224w = 104 (Equação 5 × 4) çã
Agora, subtraímos essa nova equação da equação 6:
(120y - 192z + 292w) - (120y - 268z + 224w) = 172 - 104
Simplificando:
0y + 76z + 68w = 68
Então, temos:
76z + 68w = 68 (Equação 8) çã

Passo 8

Agora, vamos eliminar o y entre as equações 5 e 7. Primeiro, multiplicamos a equação 5 por 18 e a equação 7 por 30 para igualar os coeficientes de y :
540y - 1206z + 1008w = 468 (Equação 5 × 18) -540y - 16770z + 21840w = 22380 (Equação 7 × 30) çãçã
Somamos as duas equações:
(540y - 1206z + 1008w) + (-540y - 16770z + 21840w) = 468 + 22380
Simplificando:
0y - 17976z + 22848w = 22848
Dividindo todos os termos por 24 para simplificar:
-749z + 952w = 952 (Equação 9) çã

Passo 9

Agora, temos duas equações com duas variáveis ([z) e ):
çãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar . Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Aqui, vamos usar a eliminação.
Primeiro, multiplicamos a equação 8 por 749 para igualar os coeficientes de :
çã
Agora, somamos essa equação com a equação 9:
Simplificando:
Para simplificar, dividimos por 56175:
Isso simplifica para:

Passo 10

Agora que encontramos z = 1 , vamos substituir esse valor na equação 8 para encontrar w :
76(1) + 68w = 68
Simplificando:
76 + 68w = 68
Subtraindo 76 de ambos os lados:
68w = -8
Dividindo por 68:
w = -868 = -217

Passo 11

Com os valores de z e w encontrados, vamos voltar para a equação 5 para encontrar y :
30y - 67(1) + 56(-217) = 26
Simplificando:
30y - 67 - 11217 = 26
Primeiro, resolvemos -67 - 11217:
-67 = -113917
Então:
-113917 - 11217 = -125117
Agora, temos:
30y - 125117 = 26
Somamos 125117 em ambos os lados:
30y = 26 + 125117 = 44217 + 125117 = 169317
Dividindo por 30:
y = 169317 times 30 = 1693510 = 1693 div 17510 div 17 = 99.58830 approx 3.32

Passo 12

Por fim, vamos substituir os valores de z , w e y na primeira equação para encontrar x :
4x + 2(3.32) - 7(1) + 8(-217) = 6
Simplificando:
4x + 6.64 - 7 - 1617 = 6
Calculando os números:
4x - 0.36 - 0.94 = 6
Somando:
4x - 1.3 = 6
Adicionando 1.3 aos dois lados:
4x = 7.3
Dividindo por 4:
x = 7.34 = 1.825

Resposta

A solução do sistema é:
x = 1.825, y approx 3.32, z = 1, w = -217

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