Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto Omega. Mostre que:
Se A subseteq B e B subseteq A, então A=B.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer conjuntos A,BsubseteqOmega, se
Asubseteq B e Bsubseteq A,
então A=B. O conteúdo aqui é a definição de igualdade de conjuntos via inclusão mútua:
A=B se, e somente se, forall x,;(xin Aiff xin B).

Passo 2

Pela hipótese Asubseteq B, temos
forall x,;(xin A;Longrightarrow;xin B)
E pela hipótese Bsubseteq A, obtemos
forall x,;(xin B;Longrightarrow;xin A)
Juntando essas duas implicações, chega-se a
forall x,;(xin Aiff xin B),
que é exatamente a definição de A=B.

Resposta

Portanto, concluímos que A=B.

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