Sejam
e
subconjuntos de um conjunto
. Mostre que:
Se
e
, então
.
Então conclua que a inclusão define uma relação de ordem no conjunto dos subconjuntos de
.
Se
Então conclua que a inclusão define uma relação de ordem no conjunto dos subconjuntos de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a relação de inclusão entre subconjuntos de
é transitiva e, em seguida, concluir que ela é uma relação de ordem (i.e.\ reflexiva, antissimétrica e transitiva) sobre o conjunto das partes de
. Vamos usar a definição de subconjunto e as propriedades que caracterizam uma relação de ordem parcial.
Passo 2
Provar a transitividade de
. Suponha
Para mostrar
, seja
.
Como qualquer
também pertence a
, concluímos
.
Passo 3
Mostrar a reflexividade de
. Para todo subconjunto
, se
então trivialmente
. Logo
Passo 4
Mostrar a antissimetria de
. Se
e
, então todo
pertence a
e todo
pertence a
. Isso implica que
e
têm exatamente os mesmos elementos, i.e.\
Passo 5
Como já temos
. Reflexividade:
.
. Antissimetria: de
e
segue
.
. Transitividade: de
e
segue
.
concluímos que a inclusão é uma relação de ordem parcial (relação de ordem) no conjunto dos subconjuntos de
.
concluímos que a inclusão
Resposta
A relação de inclusão
é reflexiva, antissimétrica e transitiva, logo define uma relação de ordem parcial no conjunto das partes de
.