Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto Omega. Mostre que:
Se A subseteq B e B subseteq C, então A subseteq C.
Então conclua que a inclusão define uma relação de ordem no conjunto dos subconjuntos de Omega.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a relação de inclusão entre subconjuntos de Omega é transitiva e, em seguida, concluir que ela é uma relação de ordem (i.e.\ reflexiva, antissimétrica e transitiva) sobre o conjunto das partes de Omega. Vamos usar a definição de subconjunto e as propriedades que caracterizam uma relação de ordem parcial.

Passo 2

Provar a transitividade de subseteq. Suponha
Asubseteq B e Bsubseteq C
Para mostrar Asubseteq C, seja xin A.
xin A ;Longrightarrow; xin B ;Longrightarrow; xin C
Como qualquer xin A também pertence a C, concluímos Asubseteq C.

Passo 3

Mostrar a reflexividade de subseteq. Para todo subconjunto Asubseteq Omega, se xin A então trivialmente xin A. Logo
Asubseteq A para todo (A)

Passo 4

Mostrar a antissimetria de subseteq. Se Asubseteq B e Bsubseteq A, então todo xin A pertence a B e todo xin B pertence a A. Isso implica que A e B têm exatamente os mesmos elementos, i.e.\
A = B

Passo 5

Como já temos
1. Reflexividade: Asubseteq A.
2. Antissimetria: de Asubseteq B e Bsubseteq A segue A=B.
3. Transitividade: de Asubseteq B e Bsubseteq C segue Asubseteq C.
concluímos que a inclusão subseteq é uma relação de ordem parcial (relação de ordem) no conjunto dos subconjuntos de Omega.

Resposta

A relação de inclusão subseteq é reflexiva, antissimétrica e transitiva, logo define uma relação de ordem parcial no conjunto das partes de Omega.

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