Sejam U, W subespaços vetoriais de R^4 gerados por SU=(1,1,0,-1),(1,2,3,0),(2,3,3,-1) e SW=(1,2,2,-2),(2,3,2,-3),(1,3,4,-3) respectivamente.
Determine U cap W e U+W, a soma é direta?

Passo 1

Temos dois subespaços de :
Queremos encontrar e e verificar se a soma é direta. Vamos usar dependência linear para achar bases de e , depois calcular dimensões e aplicar

Passo 2

No conjunto gerador de , note que
Logo só os dois primeiros vetores são necessários. Assim
e .

Passo 3

Em resolvemos
e encontramos . Logo
e basta
com .

Passo 4

Para achar buscamos combinações
.
Testando vemos que
logo . Por outro lado .
Assim todo vetor comum é múltiplo de , e
com .

Passo 5

Pela fórmula de dimensão,
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)=2+2-1=3
Uma base conveniente de U+W é
(1,1,0,-1),;(1,2,3,0),;(1,2,2,-2),
pois os dois primeiros geram U e o terceiro não está em U.

Passo 6

A soma é direta se e só se Ucap W=0. Como acima dim(Ucap W)=1neq0, concluímos que a soma não é direta.

Resposta


com .
A soma não é direta.

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