Sejam
subespaços vetoriais de
gerados por
e
respectivamente.
Determine
e
, a soma é direta?
Determine
Passo 1
Temos dois subespaços de
:
Queremos encontrar
e
e verificar se a soma é direta. Vamos usar dependência linear para achar bases de
e
, depois calcular dimensões e aplicar
Passo 2
No conjunto gerador de
, note que
Logo só os dois primeiros vetores são necessários. Assim
e
.
Passo 3
Em
resolvemos
e encontramos
. Logo
e basta
com
.
Passo 4
Para achar
buscamos combinações
.
Testando vemos que
Testando
logo
. Por outro lado
.
Assim todo vetor comum é múltiplo de , e
Assim todo vetor comum é múltiplo de
com
.
Passo 5
Pela fórmula de dimensão,
Uma base conveniente de
é
pois os dois primeiros geram
e o terceiro não está em
.
Passo 6
A soma é direta se e só se
. Como acima
, concluímos que a soma não é direta.
Resposta
com
A soma não é direta.