Sendo v1=(-3,2) in R^2, determine v2 in R^2 tal que v1, v2 seja uma base de R^2.

Passo 1

O enunciado diz que temos o vetor v1=(-3,2)inR^2 e nos pede para escolher um segundo vetor v2inR^2 de modo que v1,v2 seja uma base de R^2.
Conteúdo: base em R^2 e independência linear. Para resolver, vamos usar o critério de determinante (ou de não-colinearidade) para duas dimensões.

Passo 2

Em R^2, dois vetores formam uma base se, e somente se, forem linearmente independentes. Equivalentemente, se montarmos a matriz cujas colunas são esses vetores, o determinante dessa matriz deve ser diferente de zero:
det v1 & v2 ;neq;0
Isso garante que nenhum dos vetores seja múltiplo do outro (não-colinearidade).

Passo 3

Basta escolher qualquer vetor v2=(a,b) que não seja múltiplo de (-3,2). Por exemplo, pegamos
v2 = (2,3)

Passo 4

Verificamos o determinante da matriz cujas colunas são v1 e v2:
det -3 & 2 2 & 3 = (-3)cdot 3 ;-; 2cdot 2 = -9 - 4 = -13 neq 0
Como o determinante é não-nulo, v1 e v2 são linearmente independentes e formam base de R^2.

Resposta

Uma escolha possível é
v2 = (2,3),
pois (-3,2),(2,3) é base de R^2.

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