Sejam U, V e W subespaços de R^3 dados por
U=(x, y, z) in R^3: x=z, V=(x, y, z) in R^3: x=y=0
e
W=(x, y, z) in R^3: x+y+z=0
Dê um sistema de geradores para U, V e W.

Passo 1

O enunciado pede um sistema de geradores para os subespaços U, V e W de R^3. O conteúdo é entender que cada subespaço pode ser descrito por equações lineares e, em seguida, parametrizar essas equações para obter vetores geradores.

Passo 2

Para U=(x,y,z)inR^3 : x=z, escrevemos x=t, z=t e deixamos y=s. Assim
(x,y,z) = (t,s,t) = t,(1,0,1) + s,(0,1,0)
Logo, um sistema de geradores de U é (1,0,1),(0,1,0).

Passo 3

Para V=(x,y,z)inR^3 : x=0,;y=0, sobra apenas a coordenada z. Escrevendo z=t, temos
(x,y,z) = (0,0,t) = t,(0,0,1)
Então V é gerado por (0,0,1).

Passo 4

Para W=(x,y,z)inR^3 : x+y+z=0, isolamos x: x=-y-z. Tomamos y=s e z=t. Então
(x,y,z) = (-s-t,;s,;t) = s,(-1,1,0) + t,(-1,0,1)
Portanto, um sistema de geradores de W é (-1,1,0),(-1,0,1).

Resposta

Um sistema de geradores é
U:(1,0,1),(0,1,0)
V:(0,0,1)
W:(-1,1,0),(-1,0,1)

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