Sejam tais que . Determine e .
9. Se , determine .
10. Se , determine e .
11. Seja uma função tal que para . Determine .
12. Seja uma função tal que para qualquer . Determine .
13. Seja uma função tal que para qualquer . Calcule .
14. Seja uma função tal que para qualquer . Calcule e .
15. Sejam tais que e , para qualquer . Calcule .
16. Seja a função definida por:
Passo 1
Estamos diante de uma sequência de questões sobre limites de funções: indeterminações do tipo “/0”, uso de fatoração para remover singularidades, teorema do confronto (squeeze theorem) e comportamentos assintóticos para limites infinitos. Vamos usar fatoração de polinômios, limite de funções dadas, desigualdades para apertar limites e análises de grau dominante em expressões algébricas.
Passo 2
Para obter $,c$ e $,L$ tais que $\lim_{x\to1}\frac{2x^3 + cx + c}{x^2 - 1} = L$, notamos que o denominador se anula em $,x=1$. Para que o limite exista (removendo a indeterminação), o numerador também deve anular em $,x=1$. Assim definimos
$
o que dá $,2 + 2c = 0$ e logo $,c = -1$. Substituindo no numerador temos $,2x^3 - x -1$, que divide por $,x-1$ com quociente $,2x^2 + 2x + 1$. O limite é então
$
Passo 3
Para $,\lim_{x\to4}\frac{f(x)-5}{x-2} = 1$, quando $,x\to4$ o denominador tende a $,4-2=2$. Logo o numerador tende a $,2$ e temos
$
Passo 4
Sabendo que $,\lim_{x\to2}\frac{f(x)}{x^2} = 1$, como $,x^2$ tende a $,4$ então $,\lim_{x\to2} f(x) = 4$. E
$
Passo 5
Temos a desigualdade $,\sqrt{5 - 2x^2} \le f(x) \le \sqrt{5 - x^2}$ em $[-1,1]$. Ao $x\to0$, ambas as raízes tendem a $,\sqrt5$, logo por confronto
$
Passo 6
Para $,2 - x^2 \le f(x) \le 2\cos x$ em todo $\mathbb{R}$, ao $x\to0$ os limites das duas funções-limite são $,2$. Novamente pelo confronto
$
Passo 7
Dado $,|f(x)| \le 2|x|$ para todo $,x$, consideramos
Além disso $,f(x)$ tende a 0 e $\cos\bigl(1/(x+x^2)\bigr)$ é limitada, de modo que o produto tende a zero:
$,f(x)
Passo 10
Para $,|\sin x| \le f(x) \le 3|x|$ e $,0 \le g(x) \le 1 + |\sin x|$, ao $x\to0$ temos $,f(x)$ vai a zero e $,g(x)$ fica entre $,0$ e $,1$, assim
$,|sin x| <= f(x) <= 3|x|
Passo 11
Na expressão
$limxto-infty4 - 3x^3raizx^6 + 9,
o termo dominante no numerador é $-3x^3$ e no denominador $\sqrt{x^6} = |x^3| = -x^3$ (pois $,x$ é negativo). Então o quociente tende a
$-3x^3