Sejam c, L in R tais que lim x 1 2 x^3+c x+cx^2-1=L. Determine c e L.
9. Se lim x 4 f(x)-5x-2=1, determine lim x 4 f(x).
10. Se lim x 2 f(x)x^2=1, determine lim x 2 f(x)x e lim x 2 f(x).
11. Seja f uma função tal que raiz5-2 x^2 <= f(x) <= raiz5-x^2 para -1 <= x <= 1. Determine lim x 0 f(x).
12. Seja f: R R uma função tal que 2-x^2 <= f(x) <= 2 cos x para qualquer x. Determine lim x 0 f(x).
13. Seja f: R R uma função tal que |f(x)| <= 2|x| para qualquer x. Calcule f: R R.
14. Seja lim x 0 f(x) uma função tal que f, g: R R para qualquer |sen x| <= f(x) <= 3|x|. Calcule 0 <= g(x) <= 1+|sen x| e x in R.
15. Sejam lim x 0(f(x) g(x)+cos x) tais que f e lim x -infty 4-3 x^3raizx^6+9, para qualquer . Calcule .
16. Seja a função definida por:

Passo 1

Estamos diante de uma sequência de questões sobre limites de funções: indeterminações do tipo “/0”, uso de fatoração para remover singularidades, teorema do confronto (squeeze theorem) e comportamentos assintóticos para limites infinitos. Vamos usar fatoração de polinômios, limite de funções dadas, desigualdades para apertar limites e análises de grau dominante em expressões algébricas.

Passo 2

Para obter $,c$ e $,L$ tais que $\lim_{x\to1}\frac{2x^3 + cx + c}{x^2 - 1} = L$, notamos que o denominador se anula em $,x=1$. Para que o limite exista (removendo a indeterminação), o numerador também deve anular em $,x=1$. Assim definimos
$ ,c
o que dá $,2 + 2c = 0$ e logo $,c = -1$. Substituindo no numerador temos $,2x^3 - x -1$, que divide por $,x-1$ com quociente $,2x^2 + 2x + 1$. O limite é então
$ ,L

Passo 3

Para $,\lim_{x\to4}\frac{f(x)-5}{x-2} = 1$, quando $,x\to4$ o denominador tende a $,4-2=2$. Logo o numerador tende a $,2$ e temos
$ ,limxto4f(x)-5x-2 = 1

Passo 4

Sabendo que $,\lim_{x\to2}\frac{f(x)}{x^2} = 1$, como $,x^2$ tende a $,4$ então $,\lim_{x\to2} f(x) = 4$. E
$ ,limxto2f(x)x^2 = 1

Passo 5

Temos a desigualdade $,\sqrt{5 - 2x^2} \le f(x) \le \sqrt{5 - x^2}$ em $[-1,1]$. Ao $x\to0$, ambas as raízes tendem a $,\sqrt5$, logo por confronto
$ ,raiz5 - 2x^2 <= f(x) <= raiz5 - x^2

Passo 6

Para $,2 - x^2 \le f(x) \le 2\cos x$ em todo $\mathbb{R}$, ao $x\to0$ os limites das duas funções-limite são $,2$. Novamente pelo confronto
$ ,2 - x^2 <= f(x) <= 2cos x

Passo 7

Dado $,|f(x)| \le 2|x|$ para todo $,x$, consideramos
$ ,|f(x)| <= 2|x|
logo
$ ,x

Passo 8

Entre
$ 1 + x^2 + x^63 <= f(x) + 1 <= sec(x^2) + x^63,
subtraindo 1 e fazendo $,x\to0$ obtemos por confronto
$ ,xto0

Passo 9

Além disso $,f(x)$ tende a 0 e $\cos\bigl(1/(x+x^2)\bigr)$ é limitada, de modo que o produto tende a zero:
$ ,f(x)

Passo 10

Para $,|\sin x| \le f(x) \le 3|x|$ e $,0 \le g(x) \le 1 + |\sin x|$, ao $x\to0$ temos $,f(x)$ vai a zero e $,g(x)$ fica entre $,0$ e $,1$, assim
$ ,|sin x| <= f(x) <= 3|x|

Passo 11

Na expressão
$ limxto-infty4 - 3x^3raizx^6 + 9,
o termo dominante no numerador é $-3x^3$ e no denominador $\sqrt{x^6} = |x^3| = -x^3$ (pois $,x$ é negativo). Então o quociente tende a
$ -3x^3

Resposta

  1. c = -1, L = 5/2; 9) lim f(x) = 7; 10) lim f(x)/x = 2 e lim f(x) = 4; 11) lim f(x) = √5; 12) lim f(x) = 2; 13) lim [f(x³)/x] = 0; 14) lim f(x) = 0 e lim [f(x) cos(1/(x + x²))] = 0; 15) lim [f(x) g(x) + cos x] = 1; 16) lim (4 - 3x³)/√(x⁶ + 9) = 3

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