Sejam três planos infinitos paralelos definidos pelas equações x1=-2, x2=0 e x3=2 e respectivas densidades de carga sigma1=0,3 mu C / m^2, sigma2=0,8 mu C / m^2 e sigma3=-0,5 mu C / m^2, determine os valores do campo elétrico no espaço.

Passo 1

O enunciado dá três planos infinitos paralelos em x=-2, x=0 e x=2, com densidades de carga superficiais
sigma1=0,3 muC/m^2,
sigma2=0,8 muC/m^2 e
sigma3=-0,5 muC/m^2.
Queremos achar o campo elétrico E(x) em toda a linha x. Vamos usar o princípio da superposição e a fórmula do campo de um plano infinito carregado.

Passo 2

Para um único plano infinito com densidade sigma, o módulo do campo é
Eplano=|sigma|2varepsilon0
e a direção é normal ao plano: se sigma>0, o campo “sai” do plano (afastando-se dele) em ambos os lados; se sigma<0, “entra” no plano (aponta para ele).

Passo 3

Vamos definir o eixo x como positivo para a direita e dividir o espaço em quatro regiões:
1. Região I: x< -2 2. Região II: -2<x<0 3. Região III: 0<x<2 4. Região IV: x>2
Em cada região somamos vetorialmente as contribuições dos três planos, lembrando o sentido do campo de cada plano em cada lado.

Passo 4

Região I ( x< -2):
– Plano em x=-2, sigma1=+0,3times10^-6,C/m^2. À esquerda do plano, o campo aponta para a esquerda:
E1=-0,3times10^-62varepsilon0, x
– Plano em x=0, sigma2=+0,8times10^-6,C/m^2. À esquerda, também aponta para a esquerda:
E2=-0,8times10^-62varepsilon0, x
– Plano em x=2, sigma3=-0,5times10^-6,C/m^2. À esquerda, o campo aponta para a direita (cargas negativas atraem):
E3=+0,5times10^-62varepsilon0, x
Somando:
EI =l(-0,3-0,8+0,5r)10^-62varepsilon0, x =-0,6times10^-62varepsilon0, x =-0,3times10^-6varepsilon0, x

Passo 5

Região II ( -2<x<0):
– Plano em x=-2: à direita, campo para a direita, ;+dfrac0,3times10^-62varepsilon0.
– Plano em x=0: à esquerda, campo para a esquerda, -dfrac0,8times10^-62varepsilon0.
– Plano em x=2: à esquerda, campo para a direita, +dfrac0,5times10^-62varepsilon0.
Somando:
EII =l(+0,3-0,8+0,5r)10^-62varepsilon0, x =0, x

Passo 6

Região III ( 0<x<2):
– Plano em x=-2: à direita, +dfrac0,3times10^-62varepsilon0.
– Plano em x=0: à direita, +dfrac0,8times10^-62varepsilon0.
– Plano em x=2: à esquerda, +dfrac0,5times10^-62varepsilon0.
Somando:
EIII =l(0,3+0,8+0,5r)10^-62varepsilon0, x =1,6times10^-62varepsilon0, x =0,8times10^-6varepsilon0, x

Passo 7

Região IV ( x>2):
– Plano em x=-2: à direita, +dfrac0,3times10^-62varepsilon0.
– Plano em x=0: à direita, +dfrac0,8times10^-62varepsilon0.
– Plano em x=2: à direita, campo de carga negativa aponta para a esquerda, -dfrac0,5times10^-62varepsilon0.
Somando:
EIV =l(0,3+0,8-0,5r)10^-62varepsilon0, x =0,6times10^-62varepsilon0, x =0,3times10^-6varepsilon0, x

Resposta

E(x)= -dfrac0,3times10^-6varepsilon0;x, & x < -2, [1em] 0, & -2 < x < 0, [0.5em] +dfrac0,8times10^-6varepsilon0;x, & 0 < x < 2, [0.5em] +dfrac0,3times10^-6varepsilon0;x, & x > 2 ]

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