Sejam três polinômios em x: P=-2 x^{3}-2 x^{2}+2 x-1 ; Q=\left(2 x^{2}+3\right)(x-1) e R=-4 x+3. Dividindo-se (\mathrm{P}-\mathrm{Q}) por R , encontram-se quociente e resto respectivamente iguais a:

Passo 1

O enunciado nos dá três polinômios em x:
P = -2x^{3} - 2x^{2} + 2x - 1,\quad Q = (2x^{2} + 3)(x - 1),\quad R = -4x + 3
e pede para dividir (P - Q) por R. Para isso, primeiro vamos expandir Q, depois calcular P - Q e, por fim, fazer a divisão de polinômios.

Passo 2

Expandimos
Q = (2x^{2} + 3)(x - 1) = 2x^{2}\cdot x - 2x^{2}\cdot 1 + 3\cdot x - 3\cdot1 = 2x^{3} - 2x^{2} - 3x + 3.

Passo 3

Subtraímos Q de P:
P - Q = \bigl(-2x^{3} - 2x^{2} + 2x - 1\bigr) - \bigl(2x^{3} - 2x^{2} - 3x + 3\bigr) = -4x^{3} + 0x^{2} + 5x - 4.

Passo 4

Dividimos -4x^{3} + 5x - 4 por -4x + 3 usando divisão de polinômios:
  1. Termo líder: -4x^{3}\big/(-4x)=x^{2}.
    Multiplicando de volta:
x^{2}(-4x+3) = -4x^{3} + 3x^{2}.
Subtraindo dá resto -3x^{2} + 5x.
  1. Próximo termo: -3x^{2}\big/(-4x)=\tfrac{3}{4}x.
    Multiplicando:
\tfrac{3}{4}x\,(-4x+3) = -3x^{2} + \tfrac{9}{4}x.
Subtraindo dá resto \tfrac{11}{4}x.
  1. Último termo: \tfrac{11}{4}x\big/(-4x)=-\tfrac{11}{16}.
    Multiplicando:
-\tfrac{11}{16}(-4x+3) = \tfrac{11}{4}x - \tfrac{33}{16}.
Subtraindo de \tfrac{11}{4}x - 4 fica resto
-4 + \tfrac{33}{16} = -\tfrac{31}{16}.
Portanto, o quociente é x^{2} + \tfrac{3}{4}x - \tfrac{11}{16} e o resto é -\tfrac{31}{16}.

Resposta

Quociente: x^{2} + \tfrac{3}{4}x - \tfrac{11}{16}
Resto: -\tfrac{31}{16}

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