Sejam u=lang<= u1(t), u2(t), u3(t)rang<=, v=lang<= v1(t), v2(t), v3(t)rang<= e w=lang<= w1(t), w2(t), w3(t)rang<= funções vetoriais diferenciáveis. Sabemos que o produto misto é dado por u cdot(v times w), então:
a) Mostre que [u cdot(v times w)]^prime=u^prime[v times w]+u cdot[v^prime times w]+u cdot[v times w^prime]
b) Mostre que dd t|lllu1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3|=|lllu1^prime & u2^prime & u3^prime v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3|+|lllu1 & u2 & u3 v1^prime & v2^prime & v3^prime w1 & w2 & w3|+|lllu1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1^prime & w2^prime & w3^prime|

Passo 1

Beleza, o enunciado quer duas coisas sobre vetores diferenciáveis
  1. Mostrar que a derivada do produto misto
u(t)cdotl(v(t)timesw(t)r)
segue uma “regra do produto” que rende três termos.
2) Mostrar que a mesma ideia vale para a forma de determinante 3×3, pois o produto misto é exatamente esse determinante.
Conteúdo envolvido:
  • Derivada de produto escalar
  • Derivada de produto vetorial
  • Propriedade de multilinearidade do determinante
O que precisamos saber:
  • (u·v)’ = u’·v + u·v’
  • (v×w)’ = v’×w + v×w’
  • O determinante é multilinear em cada linha

Passo 2

Parte (a): derivada do produto misto
  1. Definimos
z(t)=v(t)timesw(t)
Então o nosso produto é f(t)=u(t)cdotz(t).
  1. Aplicamos a regra do produto para escalar:
f'(t)=(ucdot z)'=u'cdot z+ucdot z'
  1. Agora precisamos de z'(t). Como z=vtimesw, usamos a regra do produto vetorial:
z'=(vtimesw)' =v'timesw+vtimesw'
  1. Substituindo em f'(t):
f'(t) =u'cdot(vtimesw) +ucdotl(v'timesw+vtimesw'r)
  1. Distribuindo o último produto escalar:
f'(t) =u'cdot(vtimesw) +ucdot(v'timesw) +ucdot(vtimesw')
E isso é exatamente o que queríamos.

Passo 3

Parte (b): derivada do determinante 3×3
  1. Lembrando que
ucdot(vtimesw) = u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3
  1. Já sabemos pela parte (a) que a derivada do lado esquerdo é a soma de três produtos mistos, cada um com uma das funções derivada.
  2. Cada um desses produtos mistos é, de novo, um determinante em que uma linha está derivada. Assim
ddt u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3 = u1' & u2' & u3' v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3 + u1 & u2 & u3 v1' & v2' & v3' w1 & w2 & w3 + u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1' & w2' & w3'

Resposta

a)
ddtl[ucdot(vtimesw)r] =u'cdot(vtimesw) +ucdot(v'timesw) +ucdot(vtimesw')
b)
ddt u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3 = u1' & u2' & u3' v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3 + u1 & u2 & u3 v1' & v2' & v3' w1 & w2 & w3 + u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1' & w2' & w3'

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