Sejam e funções vetoriais diferenciáveis. Sabemos que o produto misto é dado por , então:
a) Mostre que
b) Mostre que
Passo 1
Beleza, o enunciado quer duas coisas sobre vetores diferenciáveis
Mostrar que a derivada do produto misto
u(t)cdotl(v(t)timesw(t)r)
segue uma “regra do produto” que rende três termos.
2) Mostrar que a mesma ideia vale para a forma de determinante 3×3, pois o produto misto é exatamente esse determinante.
Conteúdo envolvido:
Derivada de produto escalar
Derivada de produto vetorial
Propriedade de multilinearidade do determinante
O que precisamos saber:
(u·v)’ = u’·v + u·v’
(v×w)’ = v’×w + v×w’
O determinante é multilinear em cada linha
Passo 2
Parte (a): derivada do produto misto
Definimos
z(t)=v(t)timesw(t)
Então o nosso produto é f(t)=u(t)cdotz(t).
Aplicamos a regra do produto para escalar:
f'(t)=(ucdot z)'=u'cdot z+ucdot z'
Agora precisamos de z'(t). Como z=vtimesw, usamos a regra do produto vetorial: