Verifique se as relações abaixo são produtos internos em \mathbb{R}^{2}. Justifique sua resposta em no máximo 3 linhas.
(a) \left\langle\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right\rangle=x_{1} x_{2}+x_{1} y_{2}-y_{1} y_{2}-y_{1} x_{2};

Passo 1

O enunciado pede verificar se a forma
\langle(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\rangle = x_{1}x_{2}+x_{1}y_{2}-y_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}
é bilinear, simétrica e positiva definida.

Passo 2

Para v=(1,1) temos
\langle v,v\rangle = 1\cdot1 + 1\cdot1 - 1\cdot1 - 1\cdot1 = 0
com v\neq(0,0), violando positividade estrita.

Resposta

A forma não é um produto interno em \mathbb{R}^{2}.

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