Sejam
e
vetores do
tais que
, com
e
reais. Suponha
e
unitários e ortogonais. Prove que
Passo 1
O enunciado define vetores
,
,
com
e supõe que
e
são ortonormais (isto é, unitários e ortogonais). Vamos usar as propriedades do produto interno — linearidade e ortogonalidade — para mostrar que os coeficientes
e
são dados por projeções de
em
e
.
Passo 2
Calculamos o produto interno
. Pela definição de
e pela linearidade do produto interno:
Como
é unitário,
, e como
e
são ortogonais,
. Portanto,
Passo 3
De modo análogo, calculamos
:
pois
e
.