Sejam u, v e w vetores do R^n tais que w=alpha u+beta v, com alpha e beta reais. Suponha u e v unitários e ortogonais. Prove que
alpha=u cdot w e beta=v cdot w

Passo 1

O enunciado define vetores u, v, win R^n com
w = alpha,u + beta,v
e supõe que u e v são ortonormais (isto é, unitários e ortogonais). Vamos usar as propriedades do produto interno — linearidade e ortogonalidade — para mostrar que os coeficientes alpha e beta são dados por projeções de w em u e v.

Passo 2

Calculamos o produto interno ucdotw. Pela definição de w e pela linearidade do produto interno:
ucdotw = ucdot(alpha,u + beta,v) = alpha,(ucdotu) + beta,(ucdotv)
Como u é unitário, ucdotu=1, e como u e v são ortogonais, ucdotv=0. Portanto,
ucdotw = alpha

Passo 3

De modo análogo, calculamos vcdotw:
vcdotw = vcdot(alpha,u + beta,v) = alpha,(vcdotu) + beta,(vcdotv) = 0 + betacdot1 = beta,
pois vcdotu=0 e vcdotv=1.

Resposta

alpha = ucdot w e beta = vcdot w.

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