Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
Nas afirmativas abaixo, A, B e C são matrizes de ordens apropriadas para as operações indicadas.
( )Sejam A, B e P matrizes reais de ordem n, tais que B=P^T. A. P, sendo P inversível. Então det(A)=det(B).

Passo 1

O enunciado dá três matrizes reais A,B,P de ordem n satisfazendo
B = P^T,A,P
com P invertível. Pede-se verificar se sempre vale
det(A)=det(B)
O conteúdo utilizado será a propriedade de determinante de produto e o fato de det(P^T)=det(P).

Passo 2

Usamos a regra de determinante de produto em
B = P^TA,P
Então
det(B) =detl(P^TA,Pr) =det(P^T);det(A);det(P)

Passo 3

Como para qualquer matriz quadrada vale det(P^T)=det(P), resulta
det(B) =det(P);det(A);det(P) =l(det(P)r)^2,det(A)

Passo 4

Para que det(B)=det(A) tivéssemos
l(det(P)r)^2,det(A)=det(A),
precisaríamos de l(det(P)r)^2=1. Mas um P invertível genérico não satisfaz det(P)=pm1. Assim, em geral
det(B)=l(det(P)r)^2det(A)neqdet(A)

Resposta

FALSA.

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