Sejam x, y in R. Usando as propriedades dos números reais relativas às operações de soma e multiplicação, prove que:
x 0+x=x

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, em R e usando apenas os axiomas de corpo (identidade aditiva, inverso aditivo, distributiva, etc.), vale
xcdot 0 + x = x
Para isso, vamos usar as propriedades de 0 como elemento neutro da adição e a distributividade da multiplicação sobre a adição.

Passo 2

Mostramos primeiro que
xcdot 0 = 0
De fato, como 0 + 0 = 0, pela distributividade temos
xcdot 0 = xcdot(0 + 0) = xcdot 0 + xcdot 0
Agora, some o inverso aditivo de xcdot 0 em ambos os lados:
(xcdot 0) + l(-,xcdot 0r) = l(xcdot 0 + xcdot 0r) + l(-,xcdot 0r)
No lado esquerdo isso é 0. No direito, pela associatividade e pela definição de inverso aditivo,
l(xcdot 0 + xcdot 0r) + l(-,xcdot 0r) = xcdot 0 + l(xcdot 0 + (-,xcdot 0)r) = xcdot 0 + 0 = xcdot 0
Logo 0 = xcdot 0, isto é,
xcdot 0 = 0

Passo 3

Substitua xcdot 0 por 0 na expressão que queremos:
xcdot 0 + x = 0 + x

Passo 4

Por ser 0 o elemento neutro da adição, tem-se
0 + x = x
Concluímos então que
xcdot 0 + x = x

Resposta

xcdot 0 + x = x

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