Sejam
. Usando as propriedades dos números reais relativas às operações de soma e multiplicação, prove que:
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, em
e usando apenas os axiomas de corpo (identidade aditiva, inverso aditivo, distributiva, etc.), vale
Para isso, vamos usar as propriedades de
como elemento neutro da adição e a distributividade da multiplicação sobre a adição.
Passo 2
Mostramos primeiro que
De fato, como
, pela distributividade temos
Agora, some o inverso aditivo de
em ambos os lados:
No lado esquerdo isso é
. No direito, pela associatividade e pela definição de inverso aditivo,
Logo
, isto é,
Passo 3
Substitua
por
na expressão que queremos:
Passo 4
Por ser
o elemento neutro da adição, tem-se
Concluímos então que