Sejam x, y in R. Usando as propriedades dos números reais relativas às operações de soma e multiplicação, prove que:
x 0=0

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo xinR, vale
xcdot 0 = 0
usando apenas as propriedades de identidade aditiva, inverso aditivo, distributividade e associatividade nos reais.

Passo 2

Pela propriedade de identidade aditiva existe um elemento 0 tal que, para todo real y,
y + 0 = y
Em particular, tomando y=0, obtém-se
0 + 0 = 0

Passo 3

Usando a distributividade da multiplicação sobre a soma, temos
xcdot (0 + 0) = xcdot 0 + xcdot 0

Passo 4

Como 0 + 0 = 0 pelo passo anterior, o lado esquerdo se torna xcdot 0. Logo,
xcdot 0 = xcdot 0 + xcdot 0

Passo 5

Agora, some o inverso aditivo de xcdot 0 nos dois lados da igualdade. Seja -(xcdot 0) esse inverso. Então
(xcdot 0) + l(-(xcdot 0)r) = l(xcdot 0 + xcdot 0r) + l(-(xcdot 0)r)
Pelo conceito de inverso aditivo, o lado esquerdo é 0. Do lado direito, por associatividade e pela definição de inverso,
l(xcdot 0 + xcdot 0r) + l(-(xcdot 0)r) = xcdot 0 + l(xcdot 0 + (-(xcdot 0))r) = xcdot 0 + 0 = xcdot 0
Daí segue
0 = xcdot 0

Resposta

xcdot 0 = 0.

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