Sejam
. Usando as propriedades dos números reais relativas às operações de soma e multiplicação, prove que:
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo
, vale
usando apenas as propriedades de identidade aditiva, inverso aditivo, distributividade e associatividade nos reais.
Passo 2
Pela propriedade de identidade aditiva existe um elemento
tal que, para todo real
,
Em particular, tomando
, obtém-se
Passo 3
Usando a distributividade da multiplicação sobre a soma, temos
Passo 4
Como
pelo passo anterior, o lado esquerdo se torna
. Logo,
Passo 5
Agora, some o inverso aditivo de
nos dois lados da igualdade. Seja
esse inverso. Então
Pelo conceito de inverso aditivo, o lado esquerdo é
. Do lado direito, por associatividade e pela definição de inverso,
Daí segue