Usando as propriedades de relação de ordem em R mostre que:
Sejam x, y, x^prime, y^prime in R. Se 0<x<y e 0<x^prime<y^prime, então x+x^prime<y+y^prime

Passo 1

O enunciado afirma que, para x,y,x',y'inR, se
0 < x < y e 0 < x' < y',
então devemos provar
x + x' < y + y'
Vamos usar duas vezes a propriedade fundamental de soma de desigualdades em R:
“Se a<b e cinR, então a+c<b+c.”

Passo 2

Aplique essa propriedade à desigualdade x<y, somando x' (que é real) aos dois lados. Como x'<y' implica x'inR, temos
x + x' < y + x'

Passo 3

Agora aplique a mesma propriedade à desigualdade x'<y', somando y (que é real) aos dois lados. Assim,
y + x' < y + y'

Passo 4

Finalmente, usamos a transitividade da relação de ordem em R:
de x + x' < y + x' e y + x' < y + y' segue
x + x' < y + y'

Resposta

x + x' < y + y'

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