Sejam
um espaço vetorial sobre
. Sejam
e considere
dada por
Mostre que
é uma forma bilinear.
Passo 1
O enunciado define
onde
são funcionais lineares. Queremos mostrar que
é bilinear, isto é, que para cada
fixo a aplicação
é linear em
e que para cada
fixo a aplicação
é linear em
.
Passo 2
Mostramos primeiro a linearidade na primeira variável. Sejam
e
. Então, usando a linearidade de
e
, temos:
Além disso,
Logo
é linear.
Passo 3
Analogamente, para a segunda variável, sejam
e
. Pelo mesmo raciocínio:
Logo
é linear.
Resposta
Concluímos que
é bilinear.