Sejam V um espaço vetorial sobre K. Sejam h, g in V^* e considere f: V times V K dada por
f(u, v)=h(u) g(v)+h(v) g(u)
Mostre que f é uma forma bilinear.

Passo 1

O enunciado define
f:Vtimes VtoK, f(u,v)=h(u),g(v)+h(v),g(u),
onde h,gin V^* são funcionais lineares. Queremos mostrar que f é bilinear, isto é, que para cada v fixo a aplicação umapsto f(u,v) é linear em u e que para cada u fixo a aplicação vmapsto f(u,v) é linear em v.

Passo 2

Mostramos primeiro a linearidade na primeira variável. Sejam u1,u2,vin V e lambdainK. Então, usando a linearidade de h e g, temos:
f(u1+u2,v) = h(u1+u2),g(v) + h(v),g(u1+u2) = l[h(u1)+h(u2)r]g(v) + h(v)l[g(u1)+g(u2)r]
= h(u1)g(v)+h(v)g(u1) ;+; h(u2)g(v)+h(v)g(u2) = f(u1,v) + f(u2,v)
Além disso,
f(lambda u,v) = h(lambda u),g(v) + h(v),g(lambda u) = lambda,h(u),g(v) + lambda,h(v),g(u) = lambda,f(u,v)
Logo umapsto f(u,v) é linear.

Passo 3

Analogamente, para a segunda variável, sejam u,v1,v2in V e muinK. Pelo mesmo raciocínio:
f(u,v1+v2) = h(u),g(v1+v2) + h(v1+v2),g(u) = f(u,v1)+f(u,v2),
f(u,mu v) = h(u),g(mu v) + h(mu v),g(u) = mu,h(u),g(v) + mu,h(v),g(u) = mu,f(u,v)
Logo vmapsto f(u,v) é linear.

Resposta

Concluímos que f é bilinear.

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