Sejam V um espaço vetorial e T: V longrightarrow V um operador linear tal que T(T(v))=T(v), forall v in V (Operador Idempotente). Mostre que 0 e 1 são os autovalores de T .

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial e que T:Vto V é linear e satisfaz
Tl(T(v)r)=T(v),forall vin V
Ou seja, T é idempotente ( T^2=T). Queremos determinar os autovalores de T.

Passo 2

Suponha que exista um autovalor lambda de T com autovetor não-nulo v, isto é,
T(v)=lambda,v, vneq0
Aplicando T em ambos os lados:
Tl(T(v)r)=T(lambda,v)=lambda,T(v)=lambda^2,v
Mas como T^2=T, também temos T(T(v))=T(v)=lambda,v. Logo
lambda^2,v=lambda,vLongrightarrow(lambda^2-lambda),v=0
Como vneq0, segue
lambda^2-lambda=0Longrightarrowlambda(lambda-1)=0Longrightarrowlambdain0,1

Passo 3

Agora mostramos que de fato tanto lambda=1 quanto lambda=0 ocorrem quando o respectivo subespaço não é trivial.
Se vinIm(T) e vneq0, existe u tal que T(u)=v. Então
T(v)=Tl(T(u)r)=T(u)=v,
logo v é autovetor de autovalor 1.

Passo 4

Se vinker(T) e vneq0, temos imediatamente
T(v)=0,
então v é autovetor de autovalor 0.

Resposta

Os únicos autovalores possíveis de T são 0 e 1, e ambos aparecem sempre que ker(T) ou Im(T) contêm vetores não-nulos.

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