Sejam
um espaço vetorial e
um operador linear tal que
(Operador Idempotente). Mostre que 0 e 1 são os autovalores de T .
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial e que
é linear e satisfaz
Ou seja,
é idempotente (
). Queremos determinar os autovalores de
.
Passo 2
Suponha que exista um autovalor
de
com autovetor não-nulo
, isto é,
Aplicando
em ambos os lados:
Mas como
, também temos
. Logo
Como
, segue
Passo 3
Agora mostramos que de fato tanto
quanto
ocorrem quando o respectivo subespaço não é trivial.
Se e
, existe
tal que
. Então
Se
logo
é autovetor de autovalor
.
Passo 4
Se
e
, temos imediatamente
então
é autovetor de autovalor
.
Resposta
Os únicos autovalores possíveis de
são
e
, e ambos aparecem sempre que
ou
contêm vetores não-nulos.