Verifique se o conjunto \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}, \operatorname{com} v_{1}=(1,2,0,1), v_{2}=(2,5,3,0) e v_{3}= (4, 9, 3, 2), é um conjunto LI (linearmente independente) de \mathbb{R}^{4}.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores \displaystyle v_{1}=(1,2,0,1),\;v_{2}=(2,5,3,0),\;v_{3}=(4,9,3,2)
é linearmente independente em \mathbb{R}^{4}.
Conteúdo: teste de independência linear resolvendo \displaystyle a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}=0.
Substituindo a=-2c e b=-c nas duas primeiras equações verifica-se que ambas são satisfeitas identicamente, sem forçar c=0.
Passo 4
Como há solução não trivial c\neq0 implica a=-2c, b=-c, concluímos que existem (a,b,c)\neq(0,0,0) tais que \displaystyle a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}=0. Logo os vetores são linearmente dependentes.
Resposta
O conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente dependente em \mathbb{R}^4.