Verifique se o conjunto \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}, \operatorname{com} v_{1}=(1,2,0,1), v_{2}=(2,5,3,0) e v_{3}= (4, 9, 3, 2), é um conjunto LI (linearmente independente) de \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores \displaystyle v_{1}=(1,2,0,1),\;v_{2}=(2,5,3,0),\;v_{3}=(4,9,3,2)
é linearmente independente em \mathbb{R}^{4}.
Conteúdo: teste de independência linear resolvendo \displaystyle a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear nula
a\,(1,2,0,1)+b\,(2,5,3,0)+c\,(4,9,3,2)=(0,0,0,0)
e traduzimos em sistema de equações:
\begin{cases} a+2b+4c=0,\\\\ 2a+5b+9c=0,\\\\ 0a+3b+3c=0,\\\ a+0b+2c=0. \end{cases}

Passo 3

Da terceira equação \,3b+3c=0 segue
b+c=0\quad\Longrightarrow\quad b=-c.
Da quarta equação \,a+2c=0 segue
a=-2c.
Substituindo a=-2c e b=-c nas duas primeiras equações verifica-se que ambas são satisfeitas identicamente, sem forçar c=0.

Passo 4

Como há solução não trivial c\neq0 implica a=-2c, b=-c, concluímos que existem (a,b,c)\neq(0,0,0) tais que \displaystyle a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}=0. Logo os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente dependente em \mathbb{R}^4.

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