Sejam
e
dois vetores em
não nulos, onde
é um espaço com produto interno. Mostre que
e
são ortogonais, onde
Note que, se
e
formam um conjunto
, então o exercício 8) diz que o novo conjunto
é ortogonal. Neste caso dizemos que
é uma ortogonalização de
. Além disso, se
e
forem não nulos, segue do exercício 7) que
é um conjunto linearmente independete.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores não nulos
, num espaço com produto interno, e define
Queremos mostrar que
e
são ortogonais, ou seja,
.
Passo 2
Introduzimos o escalar
de modo que
Esta escolha de
é padrão no processo de Gram–Schmidt para dois vetores.
Passo 3
Calculamos o produto interno
. Como
, temos
Passo 4
Usando a linearidade do produto interno no primeiro argumento:
Substituindo
e
, obtemos
Passo 5
Como
, concluímos que
e
são ortogonais.