Sejam v1 e v2 dois vetores em V não nulos, onde V é um espaço com produto interno. Mostre que w1 e w2 são ortogonais, onde
w1:=v1 e w2:=v2-lang<= v2, v1rang<=|v1|^2 v1
Note que, se v1 e v2 formam um conjunto C=v1, v2, então o exercício 8) diz que o novo conjunto tildeC=w1, w2 é ortogonal. Neste caso dizemos que tildeC é uma ortogonalização de C. Além disso, se w1 e w2 forem não nulos, segue do exercício 7) que tildeC é um conjunto linearmente independete.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores não nulos v1, v2 in V, num espaço com produto interno, e define
w1 := v1, w2 := v2 - lang<= v2, v1 rang<=| v1 |^2 , v1
Queremos mostrar que w1 e w2 são ortogonais, ou seja,
lang<= w2, w1 rang<= = 0.

Passo 2

Introduzimos o escalar
alpha := lang<= v2,v1rang<=|v1|^2,
de modo que
w2 = v2 - alpha,v1
Esta escolha de alpha é padrão no processo de Gram–Schmidt para dois vetores.

Passo 3

Calculamos o produto interno lang<= w2,w1rang<=. Como w1=v1, temos
lang<= w2,w1rang<= = lang<= v2 - alpha,v1,,v1rang<=

Passo 4

Usando a linearidade do produto interno no primeiro argumento:
lang<= w2,w1rang<= = lang<= v2,v1rang<= ;-;alpha,lang<= v1,v1rang<=
Substituindo alpha=lang<= v2,v1rang<=/|v1|^2 e lang<= v1,v1rang<==|v1|^2, obtemos
lang<= w2,w1rang<= = lang<= v2,v1rang<= - lang<= v2,v1rang<=|v1|^2;|v1|^2 = lang<= v2,v1rang<= - lang<= v2,v1rang<= = 0

Passo 5

Como lang<= w2,w1rang<==0, concluímos que w1 e w2 são ortogonais.

Resposta

w1 e w2 são ortogonais, pois lang<= w2,w1rang<==0.

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