Use Gram-Schmidt para ortogonalizar o conjunto
C=(1,1,0),(0,1,0),(0,1,1)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
C=(1,1,0),(0,1,0),(0,1,1)
em R^3 e pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt e obter um conjunto ortogonal. Vamos usar o produto interno usual em R^3 e a fórmula de projeção:
proju(v)=lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,u

Passo 2

Denotemos
v1=(1,1,0), v2=(0,1,0), v3=(0,1,1)
Começamos definindo
u1=v1=(1,1,0)

Passo 3

Para obter u2, subtraímos de v2 sua projeção em u1:
lang<= v2,u1rang<= =0cdot1+1cdot1+0cdot0=1, lang<= u1,u1rang<==1^2+1^2+0^2=2,
proju1(v2)=12(1,1,0)=l(tfrac12,tfrac12,0r),
u2=v2-proju1(v2)=l(0,1,0r)-l(tfrac12,tfrac12,0r) =l(-tfrac12,tfrac12,0r)

Passo 4

Para u3, subtraímos de v3 as projeções em u1 e em u2:
  1. Projeção em u1:
lang<= v3,u1rang<==0cdot1+1cdot1+1cdot0=1, proju1(v3)=12(1,1,0)=l(tfrac12,tfrac12,0r)
  1. Projeção em u2:
lang<= v3,u2rang<= =0cdot(-tfrac12)+1cdottfrac12+1cdot0=tfrac12, lang<= u2,u2rang<==l(-tfrac12r)^2+l(tfrac12r)^2+0^2=tfrac12,
proju2(v3) =tfrac12tfrac12,u2 =1cdotl(-tfrac12,tfrac12,0r) =l(-tfrac12,tfrac12,0r)
Logo
u3 =v3-proju1(v3)-proju2(v3) =(0,1,1)-l(tfrac12,tfrac12,0r)-l(-tfrac12,tfrac12,0r) =(0,0,1)

Resposta

Um conjunto ortogonal gerado por C é
l,u1,u2,u3r =l(1,1,0),;(-tfrac12,tfrac12,0),;(0,0,1)r

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