Sejam A=[rr2 & 3 -1 & 1] e B=[rr1 & 9 -3 & k]. Quais os valores de k , se existir algum, que fazem com que A B=B A ?

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = 2 & 3 -1 & 1 e B = 1 & 9 -3 & k
e pede os valores de k tais que AB=BA. O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes 2times2 e comparação de entradas.

Passo 2

Vamos calcular o produto AB.
O elemento (1,1) é
2cdot1 + 3cdot(-3) = -7
O elemento (1,2) é
2cdot9 + 3cdot k = 18 + 3k
O elemento (2,1) é
-1cdot1 + 1cdot(-3) = -4
O elemento (2,2) é
-1cdot9 + 1cdot k = -9 + k
Logo,
AB = -7 & 18+3k [6pt] -4 & -9 + k
]

Passo 3

Agora calculamos BA.
O elemento (1,1) é
1cdot2 + 9cdot(-1) = -7
O elemento (1,2) é
1cdot3 + 9cdot1 = 12
O elemento (2,1) é
-3cdot2 + kcdot(-1) = -6 - k
O elemento (2,2) é
-3cdot3 + kcdot1 = -9 + k
Logo,
BA = -7 & 12 [6pt] -6-k & -9 + k
]

Passo 4

Para ter AB=BA, igualamos as entradas correspondentes:
( 1,2):
18 + 3k = 12 Longrightarrow 3k = -6 Longrightarrow k = -2
( 2,1):
-4 = -6 - k Longrightarrow k = -2
( 2,2):
-9 + k = -9 + k
é sempre verdadeira e não dá nova informação. Portanto a única solução é
k = -2

Resposta

k = -2

Exercícios relacionados