Verdadeiro ou falso? Em caso de ser verdadeiro, justifique com matrizes genéricas. Em caso de falsidade, apresente um exemplo que comprove.
a) Se
então
ou
.
b)
=
A B).
c) então
.
e) Se
e
são matrizes simétricas então
.
f) Se podemos efetuar o produto
então
é uma matriz quadrada.)
a) Se
b)
c) então
e) Se
f) Se podemos efetuar o produto
Passo 1
O enunciado lista seis afirmativas sobre produto de matrizes, escalares e transposição, e pergunta se cada uma é verdadeira ou falsa. Vamos usar propriedades básicas de álgebra matricial: existência de divisores de zero, relacionamento entre multiplicação por escalar, transposição de produto, simetria e compatibilidade de dimensões.
Passo 2
Analisando a) “Se
então
ou
.”
Isto afirma que não existem divisores de zero em matrizes, mas é falso. Por exemplo, seja
Isto afirma que não existem divisores de zero em matrizes, mas é falso. Por exemplo, seja
Então
mas
Aqui
com
e
, logo a) é falsa.]
Passo 3
Analisando b) “
.”
Usamos a distributividade da multiplicação matricial sobre escalares: multiplicar a esquerda por e a direita por
equivale a multiplicar o produto
pelo escalar
. Formalmente,
Usamos a distributividade da multiplicação matricial sobre escalares: multiplicar a esquerda por
Assim, b) é verdadeira.
Passo 4
Analisando c) “
.”
De fato e
, logo
De fato
Exemplo simples de matrizes
:
Portanto c) é falsa.
Passo 5
Analisando d) “Se
então
.”
Como vimos em a), tomada a mesma escolha
Como vimos em a), tomada a mesma escolha
temos
mas
. Logo d) é falsa.]
Passo 6
Analisando e) “Se
e
são matrizes simétricas então
.”
Para matrizes simétricas vale e
. Tomando transposta de
,
Para matrizes simétricas vale
Portanto e) é verdadeira.
Passo 7
Analisando f) “Se podemos efetuar o produto
então
é uma matriz quadrada.”
Se é de dimensão
, o produto
só existe se
. Logo
deve ser quadrada. Assim f) é verdadeira.
Se
Resposta
a) Falsa
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Falsa
e) Verdadeira
f) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Falsa
e) Verdadeira
f) Verdadeira