Verdadeiro ou falso? Em caso de ser verdadeiro, justifique com matrizes genéricas. Em caso de falsidade, apresente um exemplo que comprove.
a) Se então ou .
b) = A B).
c) então .
e) Se e são matrizes simétricas então
.
f) Se podemos efetuar o produto então é uma matriz quadrada.)

Passo 1

O enunciado lista seis afirmativas sobre produto de matrizes, escalares e transposição, e pergunta se cada uma é verdadeira ou falsa. Vamos usar propriedades básicas de álgebra matricial: existência de divisores de zero, relacionamento entre multiplicação por escalar, transposição de produto, simetria e compatibilidade de dimensões.

Passo 2

Analisando a) “Se A B = 0 então A = 0 ou B = 0.”
Isto afirma que não existem divisores de zero em matrizes, mas é falso. Por exemplo, seja
A = 1 & 0 [6pt]0 & 0
B = 0 & 0 [6pt]1 & 0
Então
AB = 0 & 0 [6pt]0 & 0,
mas
BA = 0 & 0 [6pt]1 & 0neq 0
Aqui AB=0 com Aneq0 e Bneq0, logo a) é falsa.]

Passo 3

Analisando b) “ (c1A)(c2B)=c1c2,A B.”
Usamos a distributividade da multiplicação matricial sobre escalares: multiplicar a esquerda por c1 e a direita por c2 equivale a multiplicar o produto AB pelo escalar c1c2. Formalmente,
(c1A)(c2B)=c1,c2,(A B)
Assim, b) é verdadeira.

Passo 4

Analisando c) “ (-A)(-B)=-(A B).”
De fato -A=(-1)A e -B=(-1)B, logo
(-A)(-B)=(-1)(-1),(A B)=+1,(A B)=A Bneq -(A B)
Exemplo simples de matrizes 1times1:
A=[1], B=[1],
(-A)(-B)=[1], -(AB)=[-1]
Portanto c) é falsa.

Passo 5

Analisando d) “Se A B=0 então B A=0.”
Como vimos em a), tomada a mesma escolha
A = 1 & 0 [6pt]0 & 0,; B = 0 & 0 [6pt]1 & 0,
temos AB=0 mas BAneq0. Logo d) é falsa.]

Passo 6

Analisando e) “Se A e B são matrizes simétricas então A B=(B A)^T.”
Para matrizes simétricas vale A^T=A e B^T=B. Tomando transposta de B A,
(B A)^T=A^TB^T=A,B
Portanto e) é verdadeira.

Passo 7

Analisando f) “Se podemos efetuar o produto A,A então A é uma matriz quadrada.”
Se A é de dimensão mtimes n, o produto A A só existe se n=m. Logo A deve ser quadrada. Assim f) é verdadeira.

Resposta

a) Falsa
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Falsa
e) Verdadeira
f) Verdadeira

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