Sejam
e
variáveis aleatórias com função de probabilidade conjunta
, para
e
, onde c é uma constante real.
Obtenha a distribuição de
.
Obtenha a distribuição de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou trata de Probabilidade, especificamente de encontrar a distribuição da variável aleatória $ Z = X + Y $. A gente tem duas variáveis $ X $ e $ Y $ com uma função de probabilidade conjunta $ f(x, y) = c(4x + 2y) $, onde $ x $ e $ y $ podem ser 1, 2 ou 3. Nosso objetivo é descobrir como $ Z $ se comporta, ou seja, qual a probabilidade de cada valor possível de $ Z $.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir o valor da constante $ c $. Para isso, lembramos que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Então, somamos $ f(x, y) $ para todos os valores de $ x $ e $ y $:
Vamos calcular essa soma passo a passo.
Passo 3
Vamos listar todos os pares possíveis de $ x $ e $ y $:
- $ (1,1) $: $ 4(1) + 2(1) = 6 $
- $ (1,2) $: $ 4(1) + 2(2) = 8 $
- $ (1,3) $: $ 4(1) + 2(3) = 10 $
- $ (2,1) $: $ 4(2) + 2(1) = 10 $
- $ (2,2) $: $ 4(2) + 2(2) = 12 $
- $ (2,3) $: $ 4(2) + 2(3) = 14 $
- $ (3,1) $: $ 4(3) + 2(1) = 14 $
- $ (3,2) $: $ 4(3) + 2(2) = 16 $
- $ (3,3) $: $ 4(3) + 2(3) = 18 $
Agora, somamos todos esses valores:
Passo 4
Sabemos que a soma das probabilidades é igual a:
Para encontrar $ c $, basta resolver essa equação:
Passo 5
Agora que temos $ c $, podemos construir a tabela de probabilidades conjuntas $ f(x, y) $:
Vamos calcular $ f(x, y) $ para cada par $ (x, y) $:
- $ f(1,1) = \frac{6}{108} = \frac{1}{18} $
- $ f(1,2) = \frac{8}{108} = \frac{2}{27} $
- $ f(1,3) = \frac{10}{108} = \frac{5}{54} $
- $ f(2,1) = \frac{10}{108} = \frac{5}{54} $
- $ f(2,2) = \frac{12}{108} = \frac{1}{9} $
- $ f(2,3) = \frac{14}{108} = \frac{7}{54} $
- $ f(3,1) = \frac{14}{108} = \frac{7}{54} $
- $ f(3,2) = \frac{16}{108} = \frac{4}{27} $
- $ f(3,3) = \frac{18}{108} = \frac{1}{6} $
Passo 6
Agora, vamos encontrar a distribuição de $ Z = X + Y $. Primeiro, identificamos os possíveis valores de $ Z $:
Para cada valor de $ Z $, somamos as probabilidades dos pares $ (x, y) $ que resultam nesse valor.
Passo 7
Vamos calcular $ P(Z = z) $ para cada $ z $:
-
$ Z = 2 $: Apenas $ (1,1) $
-
$ Z = 3 $: $ (1,2) $ e $ (2,1) $
-
$ Z = 4 $: $ (1,3) $, $ (2,2) $ e $ (3,1) $
-
$ Z = 5 $: $ (2,3) $ e $ (3,2) $
-
$ Z = 6 $: Apenas $ (3,3) $
Resposta
A distribuição de $ Z = X + Y $ é: