Sejam X e Y variáveis aleatórias com função de probabilidade conjunta f(x, y)=c(4 x+2 y), para x=1,2,3 e y=1,2,3, onde c é uma constante real.
Obtenha a distribuição de Z=X+Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou trata de Probabilidade, especificamente de encontrar a distribuição da variável aleatória $ Z = X + Y $. A gente tem duas variáveis $ X $ e $ Y $ com uma função de probabilidade conjunta $ f(x, y) = c(4x + 2y) $, onde $ x $ e $ y $ podem ser 1, 2 ou 3. Nosso objetivo é descobrir como $ Z $ se comporta, ou seja, qual a probabilidade de cada valor possível de $ Z $.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir o valor da constante $ c $. Para isso, lembramos que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Então, somamos $ f(x, y) $ para todos os valores de $ x $ e $ y $:
c
Vamos calcular essa soma passo a passo.

Passo 3

Vamos listar todos os pares possíveis de $ x $ e $ y $:
  • $ (1,1) $: $ 4(1) + 2(1) = 6 $
  • $ (1,2) $: $ 4(1) + 2(2) = 8 $
  • $ (1,3) $: $ 4(1) + 2(3) = 10 $
  • $ (2,1) $: $ 4(2) + 2(1) = 10 $
  • $ (2,2) $: $ 4(2) + 2(2) = 12 $
  • $ (2,3) $: $ 4(2) + 2(3) = 14 $
  • $ (3,1) $: $ 4(3) + 2(1) = 14 $
  • $ (3,2) $: $ 4(3) + 2(2) = 16 $
  • $ (3,3) $: $ 4(3) + 2(3) = 18 $
Agora, somamos todos esses valores:
x

Passo 4

Sabemos que a soma das probabilidades é igual a:
c times 108 = 1
Para encontrar $ c $, basta resolver essa equação:
c

Passo 5

Agora que temos $ c $, podemos construir a tabela de probabilidades conjuntas $ f(x, y) $:
c
Vamos calcular $ f(x, y) $ para cada par $ (x, y) $:
  • $ f(1,1) = \frac{6}{108} = \frac{1}{18} $
  • $ f(1,2) = \frac{8}{108} = \frac{2}{27} $
  • $ f(1,3) = \frac{10}{108} = \frac{5}{54} $
  • $ f(2,1) = \frac{10}{108} = \frac{5}{54} $
  • $ f(2,2) = \frac{12}{108} = \frac{1}{9} $
  • $ f(2,3) = \frac{14}{108} = \frac{7}{54} $
  • $ f(3,1) = \frac{14}{108} = \frac{7}{54} $
  • $ f(3,2) = \frac{16}{108} = \frac{4}{27} $
  • $ f(3,3) = \frac{18}{108} = \frac{1}{6} $

Passo 6

Agora, vamos encontrar a distribuição de $ Z = X + Y $. Primeiro, identificamos os possíveis valores de $ Z $:
Z = X + Y
Para cada valor de $ Z $, somamos as probabilidades dos pares $ (x, y) $ que resultam nesse valor.

Passo 7

Vamos calcular $ P(Z = z) $ para cada $ z $:
  • $ Z = 2 $: Apenas $ (1,1) $
    P(Z = z)
  • $ Z = 3 $: $ (1,2) $ e $ (2,1) $
    z
  • $ Z = 4 $: $ (1,3) $, $ (2,2) $ e $ (3,1) $
    Z = 2
  • $ Z = 5 $: $ (2,3) $ e $ (3,2) $
    (1,1)
  • $ Z = 6 $: Apenas $ (3,3) $
    P(Z=2) = f(1,1) = 118

Resposta

A distribuição de $ Z = X + Y $ é:
Z = X + Y

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