Sejam x e y variáveis reais entre as quais precisamos determinar uma relação na forma de uma função afim y=f(x)=a x+b. O objetivo, nesta questão, é apresentar um método para determinarmos os parâmetros a e b de modo que a função afim seja a de melhor fitting a um conjunto de m dados com valores das variáveis, ou seja, buscamos a e b de forma que o gráfico da função seja o que mais se aproxima, na direção vertical, dos m pontos
(x1, y1),(x2, y2), ldots,(xm, ym)
Mostre que, no caso particular em que desejamos ajustar uma função constante y=f(x)=b ao conjunto de pontos no plano que representam os dados, o parâmetro b0 deve ser
b0=y1+ldots+ymm,
ou seja, a média aritmética dos valores y1, ldots, ym.

Passo 1

Temos um conjunto de pontos l(xi,yir), i=1,dots,m, e queremos ajustar a função constante
y = f(x) = b
de modo que a soma dos quadrados dos erros verticais seja mínima. O conteúdo principal aqui é o método dos mínimos quadrados, que consiste em escolher b minimizando a função de custo S(b).

Passo 2

Definimos a função de custo como a soma dos erros quadráticos:
S(b) ;=; sumi=1^ml(yi - br)^2
Estamos buscando b que torne S(b) mínimo.

Passo 3

Para encontrar o mínimo, calculamos a derivada de S em relação a b e igualamos a zero:
S'(b) =ddbsumi=1^ml(yi - br)^2 =sumi=1^m2l(b - yir) =2l(m,b - sumi=1^myir)
A condição de ótimum S'(b)=0
m,b - sumi=1^myi = 0

Passo 4

Resolvendo para b, obtemos
b = 1msumi=1^myi

Passo 5

Verificamos o caráter de mínimo calculando a segunda derivada:
S''(b)=ddbl[2l(m,b - sum yir)r]=2m>0,
logo S(b) é convexa e b é de fato um mínimo.

Resposta

b0=y1+cdots+ymm

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