Sejam
e
variáveis reais entre as quais precisamos determinar uma relação na forma de uma função afim
. O objetivo, nesta questão, é apresentar um método para determinarmos os parâmetros
e
de modo que a função afim seja a de melhor fitting a um conjunto de
dados com valores das variáveis, ou seja, buscamos
e
de forma que o gráfico da função seja o que mais se aproxima, na direção vertical, dos
pontos
Mostre que, no caso particular em que desejamos ajustar uma função constante
ao conjunto de pontos no plano que representam os dados, o parâmetro
deve ser
ou seja, a média aritmética dos valores
.
Passo 1
Temos um conjunto de pontos
,
, e queremos ajustar a função constante
de modo que a soma dos quadrados dos erros verticais seja mínima. O conteúdo principal aqui é o método dos mínimos quadrados, que consiste em escolher
minimizando a função de custo
.
Passo 2
Definimos a função de custo como a soma dos erros quadráticos:
Estamos buscando
que torne
mínimo.
Passo 3
Para encontrar o mínimo, calculamos a derivada de
em relação a
e igualamos a zero:
A condição de ótimum
dá
Passo 4
Resolvendo para
, obtemos
Passo 5
Verificamos o caráter de mínimo calculando a segunda derivada:
logo
é convexa e
é de fato um mínimo.