Usando derivação implícita, calcule y^prime :
(x^2-y^2)^2=y^2+x^2

Passo 1

O enunciado dá uma relação implícita entre x e y:
l(x^2-y^2r)^2=x^2+y^2
O conteúdo é derivação implícita: vamos diferenciar ambos os lados em relação a x, lembrando que y é função de x e aplicando a regra da cadeia e o produto, e depois resolver para y'.

Passo 2

Derivando o lado esquerdo, seja u=x^2-y^2. Então ddx(u^2)=2u,u' e
u'=ddx(x^2-y^2)=2x-2y,y'
Logo
ddxl(x^2-y^2r)^2 =2(x^2-y^2)l(2x-2y,y'r)
Do lado direito,
ddx(x^2+y^2)=2x+2y,y'

Passo 3

Igualando as derivadas:
2(x^2-y^2)(2x-2y,y')=2x+2y,y'
Divide por 2:
(x^2-y^2)(2x-2y,y')=x+y,y'
Expande o produto à esquerda:
2x(x^2-y^2)-2y(x^2-y^2),y'=x+y,y'

Passo 4

Agrupa os termos com y' num lado e os restantes no outro:
-2y(x^2-y^2),y'-y,y'=x-2x(x^2-y^2)
Fatorando y' à esquerda:
y'l[-2y(x^2-y^2)-yr]=xl[1-2(x^2-y^2)r]
Logo
y'=xl[1-2x^2+2y^2r]-yl[2(x^2-y^2)+1r] =x(2x^2-2y^2-1)y(2x^2-2y^2+1)

Resposta

y'=x,(2x^2-2y^2-1)y,(2x^2-2y^2+1)

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