Sejam \vec{f}_{1} =\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}, \vec{f}_{2} =2 \vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}+2 \vec{e}_{3}, \vec{f}_{3} =-\vec{e}_{1}+2 \vec{e}_{3}
Calcule a norma dos vetores \vec{f}_{1}, \vec{f}_{2} e \vec{f}_{3}

Passo 1

O enunciado dá três vetores em termos dos vetores unitários \vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}:
\vec{f}_{1}=\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2},\qquad \vec{f}_{2}=2\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}+2\vec{e}_{3},\qquad \vec{f}_{3}=-\vec{e}_{1}+2\vec{e}_{3}.
O que é pedido: calcular a norma de \vec{f}_{1}, de \vec{f}_{2} e de \vec{f}_{3}.

Passo 2

Primeiro, lembrar a definição que vamos usar (é a forma usual em \mathbb{R}^{3}, assumindo que \vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3} formam a base ortonormal padrão):
Definição de norma (euclidiana): para um vetor \vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}),
\|\vec{v}\|=\sqrt{\langle \vec{v},\vec{v}\rangle}=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}.
Aqui \langle \vec{v},\vec{w}\rangle indica o produto interno (produto escalar) e, na base ortonormal padrão, ele é simplesmente a soma dos produtos das componentes correspondentes:
\langle \vec{v},\vec{w}\rangle = v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.
Intuição rápida: a norma é a extensão do teorema de Pitágoras para 3 dimensões — soma dos quadrados das componentes e raiz quadrada.

Passo 3

Escrever as componentes de cada \vec{f}_{i} na base (\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}). Peguei essas componentes diretamente das expressões do enunciado:
\vec{f}_{1}=(1,-1,0), \qquad \vec{f}_{2}=(2,-1,2), \qquad \vec{f}_{3}=(-1,0,2).

Passo 4

Calcular \|\vec{f}_{1}\| usando a fórmula da norma:
\|\vec{f}_{1}\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+0^{2}}=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}.
Comentário didático: somou-se o quadrado de cada componente e depois tirou-se a raiz quadrada — exatamente Pitágoras em 3D.

Passo 5

Calcular \|\vec{f}_{2}\|:
\|\vec{f}_{2}\|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.
Observação: às vezes dá um inteiro (aqui 3), o que facilita na prova.

Passo 6

Calcular \|\vec{f}_{3}\|:
\|\vec{f}_{3}\|=\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+0+4}=\sqrt{5}.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar (bem simples): o vetor (3,4,0) tem norma
\sqrt{3^{2}+4^{2}+0^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5,
isto é só o teorema de Pitágoras em 2D visto dentro do caso 3D. Força aí — esses cálculos são rápidos na prova: identificar componentes, somar quadrados, raiz.

Resposta

\|\vec{f}_{1}\|=\sqrt{2}
\|\vec{f}_{2}\|=3
\|\vec{f}_{3}\|=\sqrt{5}

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