Todas as respostas devem ter justificativas.
Considere o sistema de equações diferenciais:
Y^prime=[ll 2 & -1 3 & -2 ] Y+[l t t ]
Encontre a solução geral.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear não-homogêneo
onde
O objetivo é encontrar a solução geral, somando a solução geral do sistema homogêneo e uma solução particular de . Precisaremos de autovalores/autovetores de e do método de coeficientes a determinar para a parte polinomial.

Passo 2

Para o homogêneo Y'=A,Y calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) = det2-lambda & -13 & -2-lambda =(2-lambda)(-2-lambda)-(-1)cdot3 =lambda^2-1
Logo os autovalores são lambda1=1 e lambda2=-1.

Passo 3

Encontramos autovetores:
Para lambda1=1 resolvemos (A-I)v=0, ou seja
1 & -13 & -3v=0, o que dá v1=(1,1)^T.
Para lambda2=-1 resolvemos (A+I)v=0, ou seja
3 & -13 & -1v=0, o que dá v2=(1,3)^T.
Assim a solução geral do homogêneo é
Yh = C1 e^t11 +C2 e^-t13

Passo 4

Procuramos particular da forma
.
Então
Igualando a obtemos para o coeficiente de :
e para termos constantes:
]

Passo 5

Resolvendo 2a1 - a2 = -1 e 3a1-2a2=-1 achamos a1=-1 e a2=-1.
Substituindo em a1=2b1-b2 e a2=3b1-2b2 vem b1=-1, b2=-1.
Logo
Yp(t) =-t-1-t-1 =-(t+1)11

Passo 6

A solução geral do sistema não-homogêneo é
Y(t)=Yh(t)+Yp(t) =C1 e^t11 +C2 e^-t13 -(t+1)11

Resposta

Y(t) =C1 e^t11 +C2 e^-t13 -(t+1)11

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