Os vetores
e
são perpendiculares entre si, e
. Sabendo-se que
,
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial! A gente tem dois vetores,
e
, que são perpendiculares entre si. Além disso, temos um terceiro vetor,
, que forma um ângulo de
com
e também um ângulo de
com
. As magnitudes desses vetores são
,
e
. Nosso objetivo é calcular o produto escalar
.
Vamos precisar entender como funciona o produto escalar entre vetores, especialmente quando eles formam certos ângulos entre si, e também aproveitar o fato de que
e
são perpendiculares.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o produto escalar que precisamos calcular. Lembrando que o produto escalar distribui sobre a adição, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada um desses termos separadamente.
-
: Como e são perpendiculares, o ângulo entre eles é . O cosseno de é zero, então:
-
: O ângulo entre e é , então:
-
: O produto escalar de um vetor consigo mesmo é o quadrado da sua magnitude:
-
: O ângulo entre e também é :
Passo 4
Agora, vamos substituir esses valores na expressão que expandimos:
Passo 5
Fazendo as contas:
Resposta
O valor de
é
.