Os vetores a e b são perpendiculares entre si, e (a, c)=60^circ,(c, b)=60^circ. Sabendo-se que |a|=3,|b|=5, |c|=8, calcule (3 a-2 b) cdot(b+3 c).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial! A gente tem dois vetores, a e b, que são perpendiculares entre si. Além disso, temos um terceiro vetor, c, que forma um ângulo de 60^circ com a e também um ângulo de 60^circ com b. As magnitudes desses vetores são |a|=3, |b|=5 e |c|=8. Nosso objetivo é calcular o produto escalar (3 a-2 b) cdot(b+3 c).
Vamos precisar entender como funciona o produto escalar entre vetores, especialmente quando eles formam certos ângulos entre si, e também aproveitar o fato de que a e b são perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o produto escalar que precisamos calcular. Lembrando que o produto escalar distribui sobre a adição, temos:
(3 a - 2 b) cdot (b + 3 c) = 3a cdot b + 9a cdot c - 2b cdot b - 6b cdot c

Passo 3

Agora, vamos calcular cada um desses termos separadamente.
  1. a cdot b: Como a e b são perpendiculares, o ângulo entre eles é 90^circ. O cosseno de 90^circ é zero, então:
a cdot b = |a| |b| cos(90^circ) = 3 times 5 times 0 = 0
  1. a cdot c: O ângulo entre a e c é 60^circ, então:
a cdot c = |a| |c| cos(60^circ) = 3 times 8 times 12 = 12
  1. b cdot b: O produto escalar de um vetor consigo mesmo é o quadrado da sua magnitude:
b cdot b = |b|^2 = 5^2 = 25
  1. b cdot c: O ângulo entre b e c também é 60^circ:
b cdot c = |b| |c| cos(60^circ) = 5 times 8 times 12 = 20

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na expressão que expandimos:
3a cdot b + 9a cdot c - 2b cdot b - 6b cdot c = 3 times 0 + 9 times 12 - 2 times 25 - 6 times 20

Passo 5

Fazendo as contas:
0 + 108 - 50 - 120 = -62

Resposta

O valor de (3 a-2 b) cdot(b+3 c) é -62.

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