Sejam
vetores LI do espaço
. Mostre que:
(a)
;
(b)
|v-Proju(v)|=|v||sen theta| ;
(c)
|u times v|=|u||v-Proju v| .
(a)
(b)
(c)
Passo 1
Temos dois vetores
u e
v linearmente independentes e definimos
theta = ang<=(u,v) . Vamos usar as seguintes ferramentas:
- A definição de cosseno pelo produto escalar
- Norma e projeção:
- A relação pitagórica
e o fato de quesin^2theta+cos^2theta=1
Passo 2
Queremos mostrar que
Calculemos o quadrado da norma do lado direito:
Usando
|v/|v||=1 ,
|u/|u||=1 e
lang<=v/|v|,u/|u|rang<==costheta , obtemos
Portanto
Passo 3
Queremos
Usando
Proju(v) = ucdotv|u|^2u e
ucdotv = |u||v|costheta , temos
Fatorando
|v| :
Tomando norma e usando o resultado do Passo 2, conclui-se
Passo 4
Queremos mostrar
Sabemos a identidade clássica do produto vetorial:
Pelo Passo 3,
|v - Proju(v)| = |v|;|sintheta| . Logo
Resposta
(a)
|sintheta| = |tfracv|v| - tfracu|u|costheta| .
(b)|v - Proju(v)| = |v|;|sintheta| .
(c)|utimesv| = |u|;|v - Proju(v)| .
(b)
(c)