Sejam u e v vetores LI do espaço e theta=ang<=(u, v). Mostre que:
(a) |sen theta|=|v|v|-u|u| cos theta|;
(b) |v-Proju(v)|=|v||sen theta|;
(c) |u times v|=|u||v-Proju v|.

Passo 1

Temos dois vetores u e v linearmente independentes e definimos theta = ang<=(u,v). Vamos usar as seguintes ferramentas:
  1. A definição de cosseno pelo produto escalar
ucdotv|u||v| = costheta
  1. Norma e projeção:
Proju(v) = ucdotv|u|^2;u
  1. A relação pitagórica sin^2theta+cos^2theta=1 e o fato de que
|utimesv| = |u|;|v|;sintheta

Passo 2

Queremos mostrar que
|sintheta| ;=;|v|v| ;-;u|u|costheta|
Calculemos o quadrado da norma do lado direito:
|v|v| - u|u|costheta|^2 = lang<=v|v|,v|v|rang<= + cos^2thetalang<=u|u|,u|u|rang<= -2costhetalang<=v|v|,u|u|rang<=
Usando |v/|v||=1, |u/|u||=1 e
lang<=v/|v|,u/|u|rang<==costheta, obtemos
1 + cos^2theta - 2cos^2theta = 1 - cos^2theta = sin^2theta
Portanto
|v|v| - u|u|costheta| = raizsin^2theta = |sintheta|

Passo 3

Queremos
|v - Proju(v)| = |v|;|sintheta|
Usando Proju(v) = ucdotv|u|^2u e ucdotv = |u||v|costheta, temos
v - Proju(v) = v - |u||v|costheta|u|^2;u = v - |v|costheta;u|u|
Fatorando |v|:
v - Proju(v) = |v|(v|v| - u|u|costheta)
Tomando norma e usando o resultado do Passo 2, conclui-se
|v - Proju(v)| = |v|;|v|v| - u|u|costheta| = |v|;|sintheta|

Passo 4

Queremos mostrar
|utimesv| = |u|;|v - Proju(v)|
Sabemos a identidade clássica do produto vetorial:
|utimesv| = |u|;|v|;sintheta
Pelo Passo 3, |v - Proju(v)| = |v|;|sintheta|. Logo
|utimesv| = |u|;|v|;sintheta = |u|;(|v|;|sintheta|) = |u|;|v - Proju(v)|

Resposta

(a) |sintheta| = |tfracv|v| - tfracu|u|costheta|.
(b) |v - Proju(v)| = |v|;|sintheta|.
(c) |utimesv| = |u|;|v - Proju(v)|.

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