Sejam w=[rr1 & -5 -5 & -5], v1=[rr1 & 0 0 & -1], v2=[rr-1 & 0 0 & -1], v3=[ll0 & 1 1 & 0] vetores de M2 times 2(R).
Mostre que w é uma combinação linear de v1, v2 e v3.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
w=1 & -5 [6pt] -5 & -5, v1=1 & 0 [3pt] 0 & -1, v2=-1 & 0 [3pt] 0 & -1, v3=0 & 1 [3pt] 1 & 0
em M2times 2(R) e pede para mostrar que w está no espaço gerado por v1,v2,v3.
Conteúdo: combinação linear de matrizes – basta achar escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha v1+beta v2+gamma v3=w ]

Passo 2

Escrevemos a combinação genérica e somamos as matrizes:
alpha v1+beta v2+gamma v3 = alpha1 & 0 [3pt]0 & -1 + beta-1 & 0 [3pt]0 & -1 + gamma0 & 1 [3pt]1 & 0 = alpha - beta & gamma [3pt] gamma & -alpha - beta ]

Passo 3

Igualamos essa expressão à matriz w:
alpha - beta & gamma [3pt] gamma & -alpha - beta = 1 & -5 [3pt] -5 & -5
Isso gera o sistema
alpha - beta = 1,[3pt] gamma = -5,[3pt] -alpha - beta = -5 ]

Passo 4

Resolvendo o sistema, da segunda equação vem gamma=-5. Somando a primeira e a terceira equação:
(alpha - beta)+(-alpha - beta)=1+(-5)Longrightarrow -2beta=-4Longrightarrow beta=2
Substituindo em alpha - beta=1 alpha-2=1, logo alpha=3.

Resposta

w = 3,v1 ;+;2,v2;-;5,v3

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