Sejam w=[rr1 & -5 -5 & -5], v1=[rr1 & 0 0 & -1], v2=[rr-1 & 0 0 & -1], v3=[ll0 & 1 1 & 0] vetores de M2 times 2(R).
Mostre que v1, v2, v3 são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado nos dá três matrizes em M2times2( R):
boldsymbol v1=1 & 00 & -1, boldsymbol v2=-1 & 00 & -1, boldsymbol v3=0 & 11 & 0
Queremos mostrar que boldsymbol v1,boldsymbol v2,boldsymbol v3 são linearmente independentes, isto é, que nenhuma combinação não-trivial delas dá a matriz nula.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,cin R tais que
a,boldsymbol v1+b,boldsymbol v2+c,boldsymbol v3=boldsymbol0
Calculando a combinação matriz a matriz, obtemos
a1&00&-1 +b-1&00&-1 +c0&11&0 = a - b & c c & -a - b = 0&00&0

Passo 3

Igualando cada entrada à zero, temos o sistema
a - b = 0, c = 0, c = 0, -,a - b = 0
Da segunda (ou terceira) equação vem imediatamente c=0.
Da primeira, a=b.
Da última, -a-b=0 implica -a-a=0 ou seja a=0.
Logo b=a=0 também.

Resposta

Como a única solução é a=b=c=0, concluímos que boldsymbol v1,boldsymbol v2,boldsymbol v3 são linearmente independentes.

Exercícios relacionados