Sejam
vetores de
M2 times 2(R) .
Mostre que
v1, v2, v3 são linearmente independentes.
Mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá três matrizes em
M2times2( R) :
Queremos mostrar que
boldsymbol v1,boldsymbol v2,boldsymbol v3 são linearmente independentes, isto é, que nenhuma combinação não-trivial delas dá a matriz nula.
Passo 2
Suponha que existam escalares
a,b,cin R tais que
Calculando a combinação matriz a matriz, obtemos
Passo 3
Igualando cada entrada à zero, temos o sistema
Da segunda (ou terceira) equação vem imediatamente
c=0 .
Da primeira,a=b .
Da última,-a-b=0 implica
-a-a=0 ou seja
a=0 .
Logob=a=0 também.
Da primeira,
Da última,
Logo
Resposta
Como a única solução é
a=b=c=0 , concluímos que
boldsymbol v1,boldsymbol v2,boldsymbol v3 são linearmente independentes.