Sejam os vetores u → u ​ = ( − 5 , 1 , 1 ) =(−5,1,1)​ e v → v ​ = ( 1 , 2 , 3 ) =(1,2,3)​. Demonstre que os vetores u → u ​ e v → v ​ são ortogonais entre si.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que os vetores u = (−5, 1, 1) e v = (1, 2, 3) são ortogonais. Estamos trabalhando com vetores no espaço tridimensional e precisamos saber se eles são perpendiculares. Para isso, vamos usar o produto escalar (ou produto interno) dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o ângulo entre eles é de 90 graus. Matematicamente, isso acontece quando o produto escalar deles é igual a zero.

Passo 3

O produto escalar de dois vetores u = (u₁, u₂, u₃) e v = (v₁, v₂, v₃) é calculado assim:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Então, vamos aplicar isso aos nossos vetores.

Passo 4

Vamos multiplicar cada componente correspondente dos vetores u e v:
(-5) times 1 = -5
1 times 2 = 2
1 times 3 = 3

Passo 5

Agora, somamos esses resultados:
-5 + 2 + 3 = 0

Resposta

Como o produto escalar u · v é igual a zero, os vetores u e v são ortogonais entre si.

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