Sejam os vetores u → u = ( − 5 , 1 , 1 ) =(−5,1,1) e v → v = ( 1 , 2 , 3 ) =(1,2,3). Demonstre que os vetores u → u e v → v são ortogonais entre si.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que os vetores u = (−5, 1, 1) e v = (1, 2, 3) são ortogonais. Estamos trabalhando com vetores no espaço tridimensional e precisamos saber se eles são perpendiculares. Para isso, vamos usar o produto escalar (ou produto interno) dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o ângulo entre eles é de 90 graus. Matematicamente, isso acontece quando o produto escalar deles é igual a zero.
Passo 3
O produto escalar de dois vetores u = (u₁, u₂, u₃) e v = (v₁, v₂, v₃) é calculado assim:
Então, vamos aplicar isso aos nossos vetores.
Passo 4
Vamos multiplicar cada componente correspondente dos vetores u e v:
Passo 5
Agora, somamos esses resultados:
Resposta
Como o produto escalar u · v é igual a zero, os vetores u e v são ortogonais entre si.