Sejam os vetores u, v, w e os números reais k1, k2. Provar as seguintes propriedades:
(k1+k2) u=k1 u+k2 u

Passo 1

O enunciado pede para provar, em um espaço vetorial (por exemplo R^n), a propriedade de distributividade do produto escalar sobre a soma de escalares:
(k1+k2)u=k1u+k2u
Vamos usar a definição de multiplicação escalar em R^n e a propriedade distributiva no corpo R.

Passo 2

Escrevemos o vetor uinR^n em coordenadas:
u = (u1,u2,dots,un)
Pelo conceito de multiplicação escalar em R^n, temos
(k1+k2)u = l((k1+k2)u1,,(k1+k2)u2,,dots,,(k1+k2)unr)

Passo 3

Aplicamos a distributividade no corpo R a cada coordenada:
(k1+k2)ui = k1ui + k2ui, para todo i=1,dots,n
Logo,
(k1+k2)u = l(k1u1+k2u1,,dots,,k1un+k2unr)

Passo 4

Agora separamos a soma de coordenadas:
l(k1u1+k2u1,,dots,,k1un+k2unr) = l(k1u1,dots,k1unr) + l(k2u1,dots,k2unr)
Pelo mesmo conceito de multiplicação escalar em R^n, isso é exatamente
k1u + k2u

Resposta

(k1+k2)u=k1u+k2u

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